Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100334 / 98704
↖ ↑ ↗
← S 66.947274°
E 95.575561°		 ← 119.60 m → S 66.947274°
E 95.578308°		 →
↑
119.58 m
↓
↑
119.58 m
↓
S 66.948350°
E 95.575561°		 ← 119.59 m →
14 302 m²		 S 66.948350°
E 95.578308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100334 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98704 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765491485595703 y=0.753055572509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765491485595703 × 217)
    floor (0.765491485595703 × 131072)
    floor (100334.5)     		tx = 100334
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753055572509766 × 217)
    floor (0.753055572509766 × 131072)
    floor (98704.5)     		ty = 98704
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100334 / 98704 ti = "17/100334/98704"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100334/98704.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100334 ÷ 217
    100334 ÷ 131072     		x = 0.765487670898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98704 ÷ 217
    98704 ÷ 131072     		y = 0.7530517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765487670898438 × 2 - 1) × π
    0.530975341796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.66810823
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7530517578125 × 2 - 1) × π
    -0.506103515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.58997108659802
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66810823} λ = 1.66810823}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58997108659802))-π/2
    2×atan(0.203931508002639)-π/2
    2×0.201172982071061-π/2
    0.402345964142121-1.57079632675     		φ = -1.16845036
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66810823} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.575561°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16845036 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.947274°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100334 KachelY 98704 1.66810823 -1.16845036 95.575561 -66.947274
    Oben rechts KachelX + 1 100335 KachelY 98704 1.66815617 -1.16845036 95.578308 -66.947274
    Unten links KachelX 100334 KachelY + 1 98705 1.66810823 -1.16846913 95.575561 -66.948350
    Unten rechts KachelX + 1 100335 KachelY + 1 98705 1.66815617 -1.16846913 95.578308 -66.948350
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16845036--1.16846913) × R
    1.87700000000568e-05 × 6371000     		dl = 119.583670000362m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16845036--1.16846913) × R
    1.87700000000568e-05 × 6371000     		dr = 119.583670000362m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66810823-1.66815617) × cos(-1.16845036) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.391578047241506 × 6371000     		do = 119.598014846414m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66810823-1.66815617) × cos(-1.16846913) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.391560776052797 × 6371000     		du = 119.592739780821m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16845036)-sin(-1.16846913))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391578047241506-0.391560776052797)×R²
    abs(1.66815617-1.66810823)×1.72711887094223e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.72711887094223e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.72711887094223e-05×40589641000000     		ar = 14301.6541347053m²