Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100333 / 99779
↖ ↑ ↗
← S 68.076382°
E 95.572815°		 ← 114.01 m → S 68.076382°
E 95.575561°		 →
↑
114.04 m
↓
↑
114.04 m
↓
S 68.077407°
E 95.572815°		 ← 114.01 m →
13 002 m²		 S 68.077407°
E 95.575561°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100333 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99779 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765483856201172 y=0.761257171630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765483856201172 × 217)
    floor (0.765483856201172 × 131072)
    floor (100333.5)     		tx = 100333
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761257171630859 × 217)
    floor (0.761257171630859 × 131072)
    floor (99779.5)     		ty = 99779
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100333 / 99779 ti = "17/100333/99779"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100333/99779.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100333 ÷ 217
    100333 ÷ 131072     		x = 0.765480041503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99779 ÷ 217
    99779 ÷ 131072     		y = 0.761253356933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765480041503906 × 2 - 1) × π
    0.530960083007812 × 3.1415926535     		Λ = 1.66806030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761253356933594 × 2 - 1) × π
    -0.522506713867188 × 3.1415926535     		Φ = -1.64150325368958
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66806030} λ = 1.66806030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64150325368958))-π/2
    2×atan(0.193688660142129)-π/2
    2×0.191319664078633-π/2
    0.382639328157266-1.57079632675     		φ = -1.18815700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66806030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.572815°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18815700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.076382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100333 KachelY 99779 1.66806030 -1.18815700 95.572815 -68.076382
    Oben rechts KachelX + 1 100334 KachelY 99779 1.66810823 -1.18815700 95.575561 -68.076382
    Unten links KachelX 100333 KachelY + 1 99780 1.66806030 -1.18817490 95.572815 -68.077407
    Unten rechts KachelX + 1 100334 KachelY + 1 99780 1.66810823 -1.18817490 95.575561 -68.077407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18815700--1.18817490) × R
    1.79000000000151e-05 × 6371000     		dl = 114.040900000096m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18815700--1.18817490) × R
    1.79000000000151e-05 × 6371000     		dr = 114.040900000096m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66806030-1.66810823) × cos(-1.18815700) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.373370224099683 × 6371000     		do = 114.013089572704m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66806030-1.66810823) × cos(-1.18817490) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.373353618524518 × 6371000     		du = 114.008018860562m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18815700)-sin(-1.18817490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373370224099683-0.373353618524518)×R²
    abs(1.66810823-1.66806030)×1.66055751655292e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.66055751655292e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.66055751655292e-05×40589641000000     		ar = 13001.8662127742m²