Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100330 / 101430
↖ ↑ ↗
← S 69.708584°
E 95.564575°		 ← 105.90 m → S 69.708584°
E 95.567322°		 →
↑
105.95 m
↓
↑
105.95 m
↓
S 69.709536°
E 95.564575°		 ← 105.89 m →
11 220 m²		 S 69.709536°
E 95.567322°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100330 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101430 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765460968017578 y=0.773853302001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765460968017578 × 217)
    floor (0.765460968017578 × 131072)
    floor (100330.5)     		tx = 100330
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773853302001953 × 217)
    floor (0.773853302001953 × 131072)
    floor (101430.5)     		ty = 101430
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100330 / 101430 ti = "17/100330/101430"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100330/101430.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100330 ÷ 217
    100330 ÷ 131072     		x = 0.765457153320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101430 ÷ 217
    101430 ÷ 131072     		y = 0.773849487304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765457153320312 × 2 - 1) × π
    0.530914306640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.66791649
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.773849487304688 × 2 - 1) × π
    -0.547698974609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.7206470749623
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66791649} λ = 1.66791649}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7206470749623))-π/2
    2×atan(0.178950316170536)-π/2
    2×0.17707601106248-π/2
    0.35415202212496-1.57079632675     		φ = -1.21664430
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66791649} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.564575°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21664430 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.708584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100330 KachelY 101430 1.66791649 -1.21664430 95.564575 -69.708584
    Oben rechts KachelX + 1 100331 KachelY 101430 1.66796442 -1.21664430 95.567322 -69.708584
    Unten links KachelX 100330 KachelY + 1 101431 1.66791649 -1.21666093 95.564575 -69.709536
    Unten rechts KachelX + 1 100331 KachelY + 1 101431 1.66796442 -1.21666093 95.567322 -69.709536
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21664430--1.21666093) × R
    1.6629999999962e-05 × 6371000     		dl = 105.949729999758m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21664430--1.21666093) × R
    1.6629999999962e-05 × 6371000     		dr = 105.949729999758m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66791649-1.66796442) × cos(-1.21664430) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.346795141263788 × 6371000     		do = 105.898068330021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66791649-1.66796442) × cos(-1.21666093) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.346779543258684 × 6371000     		du = 105.893305291519m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21664430)-sin(-1.21666093))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346795141263788-0.346779543258684)×R²
    abs(1.66796442-1.66791649)×1.55980051037563e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.55980051037563e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.55980051037563e-05×40589641000000     		ar = 11219.6194260921m²