Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100329 / 99760
↖ ↑ ↗
← S 68.056889°
E 95.561829°		 ← 114.13 m → S 68.056889°
E 95.564575°		 →
↑
114.10 m
↓
↑
114.10 m
↓
S 68.057915°
E 95.561829°		 ← 114.13 m →
13 023 m²		 S 68.057915°
E 95.564575°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100329 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765453338623047 y=0.761112213134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765453338623047 × 217)
    floor (0.765453338623047 × 131072)
    floor (100329.5)     		tx = 100329
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761112213134766 × 217)
    floor (0.761112213134766 × 131072)
    floor (99760.5)     		ty = 99760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100329 / 99760 ti = "17/100329/99760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100329/99760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100329 ÷ 217
    100329 ÷ 131072     		x = 0.765449523925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99760 ÷ 217
    99760 ÷ 131072     		y = 0.7611083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765449523925781 × 2 - 1) × π
    0.530899047851562 × 3.1415926535     		Λ = 1.66786855
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7611083984375 × 2 - 1) × π
    -0.522216796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.6405924525968
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66786855} λ = 1.66786855}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6405924525968))-π/2
    2×atan(0.193865152347892)-π/2
    2×0.191489768933572-π/2
    0.382979537867143-1.57079632675     		φ = -1.18781679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66786855} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.561829°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18781679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.056889°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100329 KachelY 99760 1.66786855 -1.18781679 95.561829 -68.056889
    Oben rechts KachelX + 1 100330 KachelY 99760 1.66791649 -1.18781679 95.564575 -68.056889
    Unten links KachelX 100329 KachelY + 1 99761 1.66786855 -1.18783470 95.561829 -68.057915
    Unten rechts KachelX + 1 100330 KachelY + 1 99761 1.66791649 -1.18783470 95.564575 -68.057915
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18781679--1.18783470) × R
    1.79099999999544e-05 × 6371000     		dl = 114.104609999709m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18781679--1.18783470) × R
    1.79099999999544e-05 × 6371000     		dr = 114.104609999709m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66786855-1.66791649) × cos(-1.18781679) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.373685809322857 × 6371000     		do = 114.133264840386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66786855-1.66791649) × cos(-1.18783470) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.373669196746716 × 6371000     		du = 114.128190932025m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18781679)-sin(-1.18783470))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373685809322857-0.373669196746716)×R²
    abs(1.66791649-1.66786855)×1.66125761407176e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.66125761407176e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.66125761407176e-05×40589641000000     		ar = 13022.842194719m²