Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100328 / 99768
↖ ↑ ↗
← S 68.065098°
E 95.559082°		 ← 114.09 m → S 68.065098°
E 95.561829°		 →
↑
114.10 m
↓
↑
114.10 m
↓
S 68.066124°
E 95.559082°		 ← 114.09 m →
13 018 m²		 S 68.066124°
E 95.561829°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765445709228516 y=0.761173248291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765445709228516 × 217)
    floor (0.765445709228516 × 131072)
    floor (100328.5)     		tx = 100328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761173248291016 × 217)
    floor (0.761173248291016 × 131072)
    floor (99768.5)     		ty = 99768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100328 / 99768 ti = "17/100328/99768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100328/99768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100328 ÷ 217
    100328 ÷ 131072     		x = 0.76544189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99768 ÷ 217
    99768 ÷ 131072     		y = 0.76116943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76544189453125 × 2 - 1) × π
    0.5308837890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.66782061
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76116943359375 × 2 - 1) × π
    -0.5223388671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.64097594779376
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66782061} λ = 1.66782061}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64097594779376))-π/2
    2×atan(0.193790820247021)-π/2
    2×0.191418128319607-π/2
    0.382836256639214-1.57079632675     		φ = -1.18796007
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66782061} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.559082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18796007 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.065098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100328 KachelY 99768 1.66782061 -1.18796007 95.559082 -68.065098
    Oben rechts KachelX + 1 100329 KachelY 99768 1.66786855 -1.18796007 95.561829 -68.065098
    Unten links KachelX 100328 KachelY + 1 99769 1.66782061 -1.18797798 95.559082 -68.066124
    Unten rechts KachelX + 1 100329 KachelY + 1 99769 1.66786855 -1.18797798 95.561829 -68.066124
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18796007--1.18797798) × R
    1.79100000001764e-05 × 6371000     		dl = 114.104610001124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18796007--1.18797798) × R
    1.79100000001764e-05 × 6371000     		dr = 114.104610001124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66782061-1.66786855) × cos(-1.18796007) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.373552905357917 × 6371000     		do = 114.092672548017m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66782061-1.66786855) × cos(-1.18797798) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.373536291823036 × 6371000     		du = 114.087598346832m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18796007)-sin(-1.18797798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373552905357917-0.373536291823036)×R²
    abs(1.66786855-1.66782061)×1.66135348809715e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.66135348809715e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.66135348809715e-05×40589641000000     		ar = 13018.210410517m²