Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100324 / 98780
↖ ↑ ↗
← S 67.028875°
E 95.548095°		 ← 119.20 m → S 67.028875°
E 95.550842°		 →
↑
119.20 m
↓
↑
119.20 m
↓
S 67.029947°
E 95.548095°		 ← 119.19 m →
14 208 m²		 S 67.029947°
E 95.550842°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765415191650391 y=0.753635406494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765415191650391 × 217)
    floor (0.765415191650391 × 131072)
    floor (100324.5)     		tx = 100324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753635406494141 × 217)
    floor (0.753635406494141 × 131072)
    floor (98780.5)     		ty = 98780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100324 / 98780 ti = "17/100324/98780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100324/98780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100324 ÷ 217
    100324 ÷ 131072     		x = 0.765411376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98780 ÷ 217
    98780 ÷ 131072     		y = 0.753631591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765411376953125 × 2 - 1) × π
    0.53082275390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.66762886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753631591796875 × 2 - 1) × π
    -0.50726318359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.59361429096915
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66762886} λ = 1.66762886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59361429096915))-π/2
    2×atan(0.203189895584357)-π/2
    2×0.200460877143147-π/2
    0.400921754286295-1.57079632675     		φ = -1.16987457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66762886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.548095°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16987457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.028875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100324 KachelY 98780 1.66762886 -1.16987457 95.548095 -67.028875
    Oben rechts KachelX + 1 100325 KachelY 98780 1.66767680 -1.16987457 95.550842 -67.028875
    Unten links KachelX 100324 KachelY + 1 98781 1.66762886 -1.16989328 95.548095 -67.029947
    Unten rechts KachelX + 1 100325 KachelY + 1 98781 1.66767680 -1.16989328 95.550842 -67.029947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16987457--1.16989328) × R
    1.87099999999774e-05 × 6371000     		dl = 119.201409999856m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16987457--1.16989328) × R
    1.87099999999774e-05 × 6371000     		dr = 119.201409999856m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66762886-1.66767680) × cos(-1.16987457) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.390267170986335 × 6371000     		do = 119.19763949613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66762886-1.66767680) × cos(-1.16989328) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.390249944590084 × 6371000     		du = 119.192378111307m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16987457)-sin(-1.16989328))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390267170986335-0.390249944590084)×R²
    abs(1.66767680-1.66762886)×1.72263962502361e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.72263962502361e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.72263962502361e-05×40589641000000     		ar = 14208.2131147745m²