Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100323 / 99765
↖ ↑ ↗
← S 68.062020°
E 95.545349°		 ← 114.08 m → S 68.062020°
E 95.548095°		 →
↑
114.04 m
↓
↑
114.04 m
↓
S 68.063046°
E 95.545349°		 ← 114.08 m →
13 010 m²		 S 68.063046°
E 95.548095°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100323 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99765 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765407562255859 y=0.761150360107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765407562255859 × 217)
    floor (0.765407562255859 × 131072)
    floor (100323.5)     		tx = 100323
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761150360107422 × 217)
    floor (0.761150360107422 × 131072)
    floor (99765.5)     		ty = 99765
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100323 / 99765 ti = "17/100323/99765"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100323/99765.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100323 ÷ 217
    100323 ÷ 131072     		x = 0.765403747558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99765 ÷ 217
    99765 ÷ 131072     		y = 0.761146545410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765403747558594 × 2 - 1) × π
    0.530807495117188 × 3.1415926535     		Λ = 1.66758093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761146545410156 × 2 - 1) × π
    -0.522293090820312 × 3.1415926535     		Φ = -1.6408321370949
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66758093} λ = 1.66758093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6408321370949))-π/2
    2×atan(0.193818691444354)-π/2
    2×0.191444990563447-π/2
    0.382889981126894-1.57079632675     		φ = -1.18790635
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66758093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.545349°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18790635 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.062020°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100323 KachelY 99765 1.66758093 -1.18790635 95.545349 -68.062020
    Oben rechts KachelX + 1 100324 KachelY 99765 1.66762886 -1.18790635 95.548095 -68.062020
    Unten links KachelX 100323 KachelY + 1 99766 1.66758093 -1.18792425 95.545349 -68.063046
    Unten rechts KachelX + 1 100324 KachelY + 1 99766 1.66762886 -1.18792425 95.548095 -68.063046
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18790635--1.18792425) × R
    1.79000000000151e-05 × 6371000     		dl = 114.040900000096m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18790635--1.18792425) × R
    1.79000000000151e-05 × 6371000     		dr = 114.040900000096m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66758093-1.66762886) × cos(-1.18790635) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.373602735967707 × 6371000     		do = 114.084089868723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66758093-1.66762886) × cos(-1.18792425) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.373586132068202 × 6371000     		du = 114.079019668264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18790635)-sin(-1.18792425))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373602735967707-0.373586132068202)×R²
    abs(1.66762886-1.66758093)×1.6603899505252e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.6603899505252e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.6603899505252e-05×40589641000000     		ar = 13009.9631795983m²