Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100323 / 98789
↖ ↑ ↗
← S 67.038521°
E 95.545349°		 ← 119.13 m → S 67.038521°
E 95.548095°		 →
↑
119.14 m
↓
↑
119.14 m
↓
S 67.039592°
E 95.545349°		 ← 119.12 m →
14 192 m²		 S 67.039592°
E 95.548095°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100323 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98789 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765407562255859 y=0.753704071044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765407562255859 × 217)
    floor (0.765407562255859 × 131072)
    floor (100323.5)     		tx = 100323
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753704071044922 × 217)
    floor (0.753704071044922 × 131072)
    floor (98789.5)     		ty = 98789
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100323 / 98789 ti = "17/100323/98789"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100323/98789.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100323 ÷ 217
    100323 ÷ 131072     		x = 0.765403747558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98789 ÷ 217
    98789 ÷ 131072     		y = 0.753700256347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765403747558594 × 2 - 1) × π
    0.530807495117188 × 3.1415926535     		Λ = 1.66758093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753700256347656 × 2 - 1) × π
    -0.507400512695312 × 3.1415926535     		Φ = -1.59404572306573
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66758093} λ = 1.66758093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59404572306573))-π/2
    2×atan(0.203102251849221)-π/2
    2×0.200376706970296-π/2
    0.400753413940592-1.57079632675     		φ = -1.17004291
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66758093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.545349°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17004291 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.038521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100323 KachelY 98789 1.66758093 -1.17004291 95.545349 -67.038521
    Oben rechts KachelX + 1 100324 KachelY 98789 1.66762886 -1.17004291 95.548095 -67.038521
    Unten links KachelX 100323 KachelY + 1 98790 1.66758093 -1.17006161 95.545349 -67.039592
    Unten rechts KachelX + 1 100324 KachelY + 1 98790 1.66762886 -1.17006161 95.548095 -67.039592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17004291--1.17006161) × R
    1.87000000000381e-05 × 6371000     		dl = 119.137700000243m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17004291--1.17006161) × R
    1.87000000000381e-05 × 6371000     		dr = 119.137700000243m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66758093-1.66762886) × cos(-1.17004291) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.390112174540907 × 6371000     		do = 119.125445545598m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66758093-1.66762886) × cos(-1.17006161) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.390094956123472 × 6371000     		du = 119.120187694697m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17004291)-sin(-1.17006161))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390112174540907-0.390094956123472)×R²
    abs(1.66762886-1.66758093)×1.72184174343504e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.72184174343504e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.72184174343504e-05×40589641000000     		ar = 14192.0183901156m²