Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100321 / 97185
↖ ↑ ↗
← S 65.257856°
E 95.539856°		 ← 127.83 m → S 65.257856°
E 95.542603°		 →
↑
127.80 m
↓
↑
127.80 m
↓
S 65.259005°
E 95.539856°		 ← 127.83 m →
16 337 m²		 S 65.259005°
E 95.542603°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97185 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765392303466797 y=0.741466522216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765392303466797 × 217)
    floor (0.765392303466797 × 131072)
    floor (100321.5)     		tx = 100321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741466522216797 × 217)
    floor (0.741466522216797 × 131072)
    floor (97185.5)     		ty = 97185
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100321 / 97185 ti = "17/100321/97185"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100321/97185.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100321 ÷ 217
    100321 ÷ 131072     		x = 0.765388488769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97185 ÷ 217
    97185 ÷ 131072     		y = 0.741462707519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765388488769531 × 2 - 1) × π
    0.530776977539062 × 3.1415926535     		Λ = 1.66748505
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741462707519531 × 2 - 1) × π
    -0.482925415039062 × 3.1415926535     		Φ = -1.51715493607516
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66748505} λ = 1.66748505}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51715493607516))-π/2
    2×atan(0.219335022261286)-π/2
    2×0.215915937888802-π/2
    0.431831875777605-1.57079632675     		φ = -1.13896445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66748505} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.539856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13896445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.257856°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100321 KachelY 97185 1.66748505 -1.13896445 95.539856 -65.257856
    Oben rechts KachelX + 1 100322 KachelY 97185 1.66753299 -1.13896445 95.542603 -65.257856
    Unten links KachelX 100321 KachelY + 1 97186 1.66748505 -1.13898451 95.539856 -65.259005
    Unten rechts KachelX + 1 100322 KachelY + 1 97186 1.66753299 -1.13898451 95.542603 -65.259005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13896445--1.13898451) × R
    2.00599999999884e-05 × 6371000     		dl = 127.802259999926m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13896445--1.13898451) × R
    2.00599999999884e-05 × 6371000     		dr = 127.802259999926m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66748505-1.66753299) × cos(-1.13896445) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.418535215300495 × 6371000     		do = 127.831427849129m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66748505-1.66753299) × cos(-1.13898451) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.418516996712872 × 6371000     		du = 127.825863423523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13896445)-sin(-1.13898451))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418535215300495-0.418516996712872)×R²
    abs(1.66753299-1.66748505)×1.82185876231866e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.82185876231866e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.82185876231866e-05×40589641000000     		ar = 16336.789805479m²