Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100321 / 102113
↖ ↑ ↗
← S 70.349241°
E 95.539856°		 ← 102.71 m → S 70.349241°
E 95.542603°		 →
↑
102.70 m
↓
↑
102.70 m
↓
S 70.350165°
E 95.539856°		 ← 102.71 m →
10 548 m²		 S 70.350165°
E 95.542603°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102113 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765392303466797 y=0.779064178466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765392303466797 × 217)
    floor (0.765392303466797 × 131072)
    floor (100321.5)     		tx = 100321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779064178466797 × 217)
    floor (0.779064178466797 × 131072)
    floor (102113.5)     		ty = 102113
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100321 / 102113 ti = "17/100321/102113"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100321/102113.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100321 ÷ 217
    100321 ÷ 131072     		x = 0.765388488769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102113 ÷ 217
    102113 ÷ 131072     		y = 0.779060363769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765388488769531 × 2 - 1) × π
    0.530776977539062 × 3.1415926535     		Λ = 1.66748505
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779060363769531 × 2 - 1) × π
    -0.558120727539062 × 3.1415926535     		Φ = -1.75338797740279
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66748505} λ = 1.66748505}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75338797740279))-π/2
    2×atan(0.173186197454116)-π/2
    2×0.171485220640537-π/2
    0.342970441281074-1.57079632675     		φ = -1.22782589
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66748505} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.539856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22782589 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.349241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100321 KachelY 102113 1.66748505 -1.22782589 95.539856 -70.349241
    Oben rechts KachelX + 1 100322 KachelY 102113 1.66753299 -1.22782589 95.542603 -70.349241
    Unten links KachelX 100321 KachelY + 1 102114 1.66748505 -1.22784201 95.539856 -70.350165
    Unten rechts KachelX + 1 100322 KachelY + 1 102114 1.66753299 -1.22784201 95.542603 -70.350165
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22782589--1.22784201) × R
    1.61199999999528e-05 × 6371000     		dl = 102.7005199997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22782589--1.22784201) × R
    1.61199999999528e-05 × 6371000     		dr = 102.7005199997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66748505-1.66753299) × cos(-1.22782589) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.336286009909931 × 6371000     		do = 102.710403428321m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66748505-1.66753299) × cos(-1.22784201) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.336270828696563 × 6371000     		du = 102.705766694994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22782589)-sin(-1.22784201))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336286009909931-0.336270828696563)×R²
    abs(1.66753299-1.66748505)×1.51812133680762e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51812133680762e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51812133680762e-05×40589641000000     		ar = 10548.173744238m²