Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100321 / 101345
↖ ↑ ↗
← S 69.627466°
E 95.539856°		 ← 106.33 m → S 69.627466°
E 95.542603°		 →
↑
106.27 m
↓
↑
106.27 m
↓
S 69.628422°
E 95.539856°		 ← 106.32 m →
11 299 m²		 S 69.628422°
E 95.542603°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101345 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765392303466797 y=0.773204803466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765392303466797 × 217)
    floor (0.765392303466797 × 131072)
    floor (100321.5)     		tx = 100321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773204803466797 × 217)
    floor (0.773204803466797 × 131072)
    floor (101345.5)     		ty = 101345
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100321 / 101345 ti = "17/100321/101345"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100321/101345.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100321 ÷ 217
    100321 ÷ 131072     		x = 0.765388488769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101345 ÷ 217
    101345 ÷ 131072     		y = 0.773200988769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765388488769531 × 2 - 1) × π
    0.530776977539062 × 3.1415926535     		Λ = 1.66748505
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.773200988769531 × 2 - 1) × π
    -0.546401977539062 × 3.1415926535     		Φ = -1.71657243849459
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66748505} λ = 1.66748505}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71657243849459))-π/2
    2×atan(0.179680961200266)-π/2
    2×0.17778389470445-π/2
    0.355567789408899-1.57079632675     		φ = -1.21522854
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66748505} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.539856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21522854 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.627466°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100321 KachelY 101345 1.66748505 -1.21522854 95.539856 -69.627466
    Oben rechts KachelX + 1 100322 KachelY 101345 1.66753299 -1.21522854 95.542603 -69.627466
    Unten links KachelX 100321 KachelY + 1 101346 1.66748505 -1.21524522 95.539856 -69.628422
    Unten rechts KachelX + 1 100322 KachelY + 1 101346 1.66753299 -1.21524522 95.542603 -69.628422
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21522854--1.21524522) × R
    1.66799999998801e-05 × 6371000     		dl = 106.268279999236m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21522854--1.21524522) × R
    1.66799999998801e-05 × 6371000     		dr = 106.268279999236m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66748505-1.66753299) × cos(-1.21522854) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.348122692473402 × 6371000     		do = 106.325630959411m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66748505-1.66753299) × cos(-1.21524522) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.348107055775981 × 6371000     		du = 106.32085510953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21522854)-sin(-1.21524522))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348122692473402-0.348107055775981)×R²
    abs(1.66753299-1.66748505)×1.56366974211619e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56366974211619e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56366974211619e-05×40589641000000     		ar = 11298.7881614824m²