Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100320 / 97184
↖ ↑ ↗
← S 65.256707°
E 95.537110°		 ← 127.81 m → S 65.256707°
E 95.539856°		 →
↑
127.80 m
↓
↑
127.80 m
↓
S 65.257856°
E 95.537110°		 ← 127.80 m →
16 334 m²		 S 65.257856°
E 95.539856°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97184 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765384674072266 y=0.741458892822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765384674072266 × 217)
    floor (0.765384674072266 × 131072)
    floor (100320.5)     		tx = 100320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741458892822266 × 217)
    floor (0.741458892822266 × 131072)
    floor (97184.5)     		ty = 97184
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100320 / 97184 ti = "17/100320/97184"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100320/97184.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100320 ÷ 217
    100320 ÷ 131072     		x = 0.765380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97184 ÷ 217
    97184 ÷ 131072     		y = 0.741455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765380859375 × 2 - 1) × π
    0.53076171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.66743712
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741455078125 × 2 - 1) × π
    -0.48291015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.51710699917554
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66743712} λ = 1.66743712}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51710699917554))-π/2
    2×atan(0.219345536754245)-π/2
    2×0.215925969747455-π/2
    0.431851939494909-1.57079632675     		φ = -1.13894439
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66743712} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.537110°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13894439 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.256707°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100320 KachelY 97184 1.66743712 -1.13894439 95.537110 -65.256707
    Oben rechts KachelX + 1 100321 KachelY 97184 1.66748505 -1.13894439 95.539856 -65.256707
    Unten links KachelX 100320 KachelY + 1 97185 1.66743712 -1.13896445 95.537110 -65.257856
    Unten rechts KachelX + 1 100321 KachelY + 1 97185 1.66748505 -1.13896445 95.539856 -65.257856
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13894439--1.13896445) × R
    2.00599999999884e-05 × 6371000     		dl = 127.802259999926m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13894439--1.13896445) × R
    2.00599999999884e-05 × 6371000     		dr = 127.802259999926m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66743712-1.66748505) × cos(-1.13894439) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.418553433719698 × 6371000     		do = 127.810326184196m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66743712-1.66748505) × cos(-1.13896445) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.418535215300495 × 6371000     		du = 127.804762970724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13894439)-sin(-1.13896445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418553433719698-0.418535215300495)×R²
    abs(1.66748505-1.66743712)×1.82184192030754e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.82184192030754e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.82184192030754e-05×40589641000000     		ar = 16334.093042755m²