Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100318 / 99792
↖ ↑ ↗
← S 68.089709°
E 95.531616°		 ← 113.97 m → S 68.089709°
E 95.534363°		 →
↑
113.98 m
↓
↑
113.98 m
↓
S 68.090734°
E 95.531616°		 ← 113.97 m →
12 990 m²		 S 68.090734°
E 95.534363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100318 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765369415283203 y=0.761356353759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765369415283203 × 217)
    floor (0.765369415283203 × 131072)
    floor (100318.5)     		tx = 100318
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761356353759766 × 217)
    floor (0.761356353759766 × 131072)
    floor (99792.5)     		ty = 99792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100318 / 99792 ti = "17/100318/99792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100318/99792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100318 ÷ 217
    100318 ÷ 131072     		x = 0.765365600585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99792 ÷ 217
    99792 ÷ 131072     		y = 0.7613525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765365600585938 × 2 - 1) × π
    0.530731201171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.66734124
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7613525390625 × 2 - 1) × π
    -0.522705078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.64212643338464
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66734124} λ = 1.66734124}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64212643338464))-π/2
    2×atan(0.193567994903933)-π/2
    2×0.191203359329963-π/2
    0.382406718659925-1.57079632675     		φ = -1.18838961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66734124} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.531616°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18838961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.089709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100318 KachelY 99792 1.66734124 -1.18838961 95.531616 -68.089709
    Oben rechts KachelX + 1 100319 KachelY 99792 1.66738918 -1.18838961 95.534363 -68.089709
    Unten links KachelX 100318 KachelY + 1 99793 1.66734124 -1.18840750 95.531616 -68.090734
    Unten rechts KachelX + 1 100319 KachelY + 1 99793 1.66738918 -1.18840750 95.534363 -68.090734
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18838961--1.18840750) × R
    1.78900000000759e-05 × 6371000     		dl = 113.977190000484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18838961--1.18840750) × R
    1.78900000000759e-05 × 6371000     		dr = 113.977190000484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66734124-1.66738918) × cos(-1.18838961) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.373154425792441 × 6371000     		do = 113.970966631857m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66734124-1.66738918) × cos(-1.18840750) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.37313782794091 × 6371000     		du = 113.96589722077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18838961)-sin(-1.18840750))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373154425792441-0.37313782794091)×R²
    abs(1.66738918-1.66734124)×1.6597851531186e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6597851531186e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6597851531186e-05×40589641000000     		ar = 12989.8016200837m²