Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100318 / 99782
↖ ↑ ↗
← S 68.079458°
E 95.531616°		 ← 114.02 m → S 68.079458°
E 95.534363°		 →
↑
114.04 m
↓
↑
114.04 m
↓
S 68.080483°
E 95.531616°		 ← 114.02 m →
13 003 m²		 S 68.080483°
E 95.534363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100318 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99782 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765369415283203 y=0.761280059814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765369415283203 × 217)
    floor (0.765369415283203 × 131072)
    floor (100318.5)     		tx = 100318
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761280059814453 × 217)
    floor (0.761280059814453 × 131072)
    floor (99782.5)     		ty = 99782
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100318 / 99782 ti = "17/100318/99782"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100318/99782.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100318 ÷ 217
    100318 ÷ 131072     		x = 0.765365600585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99782 ÷ 217
    99782 ÷ 131072     		y = 0.761276245117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765365600585938 × 2 - 1) × π
    0.530731201171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.66734124
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761276245117188 × 2 - 1) × π
    -0.522552490234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.64164706438844
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66734124} λ = 1.66734124}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64164706438844))-π/2
    2×atan(0.193660807643345)-π/2
    2×0.191292818552904-π/2
    0.382585637105807-1.57079632675     		φ = -1.18821069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66734124} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.531616°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18821069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.079458°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100318 KachelY 99782 1.66734124 -1.18821069 95.531616 -68.079458
    Oben rechts KachelX + 1 100319 KachelY 99782 1.66738918 -1.18821069 95.534363 -68.079458
    Unten links KachelX 100318 KachelY + 1 99783 1.66734124 -1.18822859 95.531616 -68.080483
    Unten rechts KachelX + 1 100319 KachelY + 1 99783 1.66738918 -1.18822859 95.534363 -68.080483
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18821069--1.18822859) × R
    1.79000000000151e-05 × 6371000     		dl = 114.040900000096m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18821069--1.18822859) × R
    1.79000000000151e-05 × 6371000     		dr = 114.040900000096m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66734124-1.66738918) × cos(-1.18821069) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.373320416292338 × 6371000     		do = 114.021664403121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66734124-1.66738918) × cos(-1.18822859) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.373303810358377 × 6371000     		du = 114.016592523452m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18821069)-sin(-1.18822859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373320416292338-0.373303810358377)×R²
    abs(1.66738918-1.66734124)×1.66059339614111e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.66059339614111e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.66059339614111e-05×40589641000000     		ar = 13002.8440274181m²