Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100318 / 101990
↖ ↑ ↗
← S 70.235318°
E 95.531616°		 ← 103.28 m → S 70.235318°
E 95.534363°		 →
↑
103.27 m
↓
↑
103.27 m
↓
S 70.236247°
E 95.531616°		 ← 103.28 m →
10 666 m²		 S 70.236247°
E 95.534363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100318 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101990 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765369415283203 y=0.778125762939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765369415283203 × 217)
    floor (0.765369415283203 × 131072)
    floor (100318.5)     		tx = 100318
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778125762939453 × 217)
    floor (0.778125762939453 × 131072)
    floor (101990.5)     		ty = 101990
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100318 / 101990 ti = "17/100318/101990"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100318/101990.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100318 ÷ 217
    100318 ÷ 131072     		x = 0.765365600585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101990 ÷ 217
    101990 ÷ 131072     		y = 0.778121948242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765365600585938 × 2 - 1) × π
    0.530731201171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.66734124
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778121948242188 × 2 - 1) × π
    -0.556243896484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.74749173874953
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66734124} λ = 1.66734124}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74749173874953))-π/2
    2×atan(0.174210360994946)-π/2
    2×0.172479388960596-π/2
    0.344958777921192-1.57079632675     		φ = -1.22583755
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66734124} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.531616°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22583755 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.235318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100318 KachelY 101990 1.66734124 -1.22583755 95.531616 -70.235318
    Oben rechts KachelX + 1 100319 KachelY 101990 1.66738918 -1.22583755 95.534363 -70.235318
    Unten links KachelX 100318 KachelY + 1 101991 1.66734124 -1.22585376 95.531616 -70.236247
    Unten rechts KachelX + 1 100319 KachelY + 1 101991 1.66738918 -1.22585376 95.534363 -70.236247
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22583755--1.22585376) × R
    1.620999999985e-05 × 6371000     		dl = 103.273909999044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22583755--1.22585376) × R
    1.620999999985e-05 × 6371000     		dr = 103.273909999044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66734124-1.66738918) × cos(-1.22583755) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.338157882814044 × 6371000     		do = 103.282121595245m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66734124-1.66738918) × cos(-1.22585376) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.338142627710551 × 6371000     		du = 103.277462293972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22583755)-sin(-1.22585376))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338157882814044-0.338142627710551)×R²
    abs(1.66738918-1.66734124)×1.52551034934278e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52551034934278e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52551034934278e-05×40589641000000     		ar = 10666.1079383796m²