Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100316 / 101548
↖ ↑ ↗
← S 69.820681°
E 95.526123°		 ← 105.36 m → S 69.820681°
E 95.528870°		 →
↑
105.38 m
↓
↑
105.38 m
↓
S 69.821629°
E 95.526123°		 ← 105.35 m →
11 102 m²		 S 69.821629°
E 95.528870°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100316 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765354156494141 y=0.774753570556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765354156494141 × 217)
    floor (0.765354156494141 × 131072)
    floor (100316.5)     		tx = 100316
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774753570556641 × 217)
    floor (0.774753570556641 × 131072)
    floor (101548.5)     		ty = 101548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100316 / 101548 ti = "17/100316/101548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100316/101548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100316 ÷ 217
    100316 ÷ 131072     		x = 0.765350341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101548 ÷ 217
    101548 ÷ 131072     		y = 0.774749755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765350341796875 × 2 - 1) × π
    0.53070068359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66724537
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774749755859375 × 2 - 1) × π
    -0.54949951171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.72630362911746
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66724537} λ = 1.66724537}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72630362911746))-π/2
    2×atan(0.177940931526889)-π/2
    2×0.176097776266387-π/2
    0.352195552532774-1.57079632675     		φ = -1.21860077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66724537} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.526123°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21860077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.820681°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100316 KachelY 101548 1.66724537 -1.21860077 95.526123 -69.820681
    Oben rechts KachelX + 1 100317 KachelY 101548 1.66729331 -1.21860077 95.528870 -69.820681
    Unten links KachelX 100316 KachelY + 1 101549 1.66724537 -1.21861731 95.526123 -69.821629
    Unten rechts KachelX + 1 100317 KachelY + 1 101549 1.66729331 -1.21861731 95.528870 -69.821629
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21860077--1.21861731) × R
    1.65399999998428e-05 × 6371000     		dl = 105.376339998998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21860077--1.21861731) × R
    1.65399999998428e-05 × 6371000     		dr = 105.376339998998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66724537-1.66729331) × cos(-1.21860077) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.344959425477188 × 6371000     		do = 105.359487796276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66724537-1.66729331) × cos(-1.21861731) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.344943900694937 × 6371000     		du = 105.354746128168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21860077)-sin(-1.21861731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344959425477188-0.344943900694937)×R²
    abs(1.66729331-1.66724537)×1.55247822511972e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.55247822511972e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.55247822511972e-05×40589641000000     		ar = 11102.14737874m²