Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100315 / 99790
↖ ↑ ↗
← S 68.087659°
E 95.523376°		 ← 113.98 m → S 68.087659°
E 95.526123°		 →
↑
113.98 m
↓
↑
113.98 m
↓
S 68.088684°
E 95.523376°		 ← 113.98 m →
12 991 m²		 S 68.088684°
E 95.526123°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100315 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765346527099609 y=0.761341094970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765346527099609 × 217)
    floor (0.765346527099609 × 131072)
    floor (100315.5)     		tx = 100315
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761341094970703 × 217)
    floor (0.761341094970703 × 131072)
    floor (99790.5)     		ty = 99790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100315 / 99790 ti = "17/100315/99790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100315/99790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100315 ÷ 217
    100315 ÷ 131072     		x = 0.765342712402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99790 ÷ 217
    99790 ÷ 131072     		y = 0.761337280273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765342712402344 × 2 - 1) × π
    0.530685424804688 × 3.1415926535     		Λ = 1.66719743
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761337280273438 × 2 - 1) × π
    -0.522674560546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.6420305595854
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66719743} λ = 1.66719743}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6420305595854))-π/2
    2×atan(0.193586553892662)-π/2
    2×0.191221247991869-π/2
    0.382442495983738-1.57079632675     		φ = -1.18835383
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66719743} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.523376°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18835383 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.087659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100315 KachelY 99790 1.66719743 -1.18835383 95.523376 -68.087659
    Oben rechts KachelX + 1 100316 KachelY 99790 1.66724537 -1.18835383 95.526123 -68.087659
    Unten links KachelX 100315 KachelY + 1 99791 1.66719743 -1.18837172 95.523376 -68.088684
    Unten rechts KachelX + 1 100316 KachelY + 1 99791 1.66724537 -1.18837172 95.526123 -68.088684
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18835383--1.18837172) × R
    1.78899999998539e-05 × 6371000     		dl = 113.977189999069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18835383--1.18837172) × R
    1.78899999998539e-05 × 6371000     		dr = 113.977189999069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66719743-1.66724537) × cos(-1.18835383) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.373187621137211 × 6371000     		do = 113.981105344598m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66719743-1.66724537) × cos(-1.18837172) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.373171023524544 × 6371000     		du = 113.976036006466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18835383)-sin(-1.18837172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373187621137211-0.373171023524544)×R²
    abs(1.66724537-1.66719743)×1.65976126679235e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65976126679235e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65976126679235e-05×40589641000000     		ar = 12990.9572062103m²