Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100314 / 99786
↖ ↑ ↗
← S 68.083559°
E 95.520630°		 ← 114 m → S 68.083559°
E 95.523376°		 →
↑
113.98 m
↓
↑
113.98 m
↓
S 68.084584°
E 95.520630°		 ← 114 m →
12 993 m²		 S 68.084584°
E 95.523376°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100314 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99786 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765338897705078 y=0.761310577392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765338897705078 × 217)
    floor (0.765338897705078 × 131072)
    floor (100314.5)     		tx = 100314
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761310577392578 × 217)
    floor (0.761310577392578 × 131072)
    floor (99786.5)     		ty = 99786
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100314 / 99786 ti = "17/100314/99786"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100314/99786.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100314 ÷ 217
    100314 ÷ 131072     		x = 0.765335083007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99786 ÷ 217
    99786 ÷ 131072     		y = 0.761306762695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765335083007812 × 2 - 1) × π
    0.530670166015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.66714949
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761306762695312 × 2 - 1) × π
    -0.522613525390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.64183881198692
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66714949} λ = 1.66714949}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64183881198692))-π/2
    2×atan(0.193623677208509)-π/2
    2×0.191257030089467-π/2
    0.382514060178935-1.57079632675     		φ = -1.18828227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66714949} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.520630°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18828227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.083559°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100314 KachelY 99786 1.66714949 -1.18828227 95.520630 -68.083559
    Oben rechts KachelX + 1 100315 KachelY 99786 1.66719743 -1.18828227 95.523376 -68.083559
    Unten links KachelX 100314 KachelY + 1 99787 1.66714949 -1.18830016 95.520630 -68.084584
    Unten rechts KachelX + 1 100315 KachelY + 1 99787 1.66719743 -1.18830016 95.523376 -68.084584
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18828227--1.18830016) × R
    1.78900000000759e-05 × 6371000     		dl = 113.977190000484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18828227--1.18830016) × R
    1.78900000000759e-05 × 6371000     		dr = 113.977190000484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66714949-1.66719743) × cos(-1.18828227) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.373254010393436 × 6371000     		do = 114.001382332836m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66714949-1.66719743) × cos(-1.18830016) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.373237413258558 × 6371000     		du = 113.996313140634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18828227)-sin(-1.18830016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373254010393436-0.373237413258558)×R²
    abs(1.66719743-1.66714949)×1.65971348783933e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.65971348783933e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.65971348783933e-05×40589641000000     		ar = 12993.2683286197m²