Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100311 / 96846
↖ ↑ ↗
← S 64.865274°
E 95.512390°		 ← 129.73 m → S 64.865274°
E 95.515137°		 →
↑
129.71 m
↓
↑
129.71 m
↓
S 64.866441°
E 95.512390°		 ← 129.72 m →
16 827 m²		 S 64.866441°
E 95.515137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100311 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96846 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765316009521484 y=0.738880157470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765316009521484 × 217)
    floor (0.765316009521484 × 131072)
    floor (100311.5)     		tx = 100311
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738880157470703 × 217)
    floor (0.738880157470703 × 131072)
    floor (96846.5)     		ty = 96846
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100311 / 96846 ti = "17/100311/96846"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100311/96846.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100311 ÷ 217
    100311 ÷ 131072     		x = 0.765312194824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96846 ÷ 217
    96846 ÷ 131072     		y = 0.738876342773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765312194824219 × 2 - 1) × π
    0.530624389648438 × 3.1415926535     		Λ = 1.66700568
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738876342773438 × 2 - 1) × π
    -0.477752685546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.50090432710396
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66700568} λ = 1.66700568}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50090432710396))-π/2
    2×atan(0.222928468708161)-π/2
    2×0.219341856490329-π/2
    0.438683712980658-1.57079632675     		φ = -1.13211261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66700568} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.512390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13211261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.865274°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100311 KachelY 96846 1.66700568 -1.13211261 95.512390 -64.865274
    Oben rechts KachelX + 1 100312 KachelY 96846 1.66705362 -1.13211261 95.515137 -64.865274
    Unten links KachelX 100311 KachelY + 1 96847 1.66700568 -1.13213297 95.512390 -64.866441
    Unten rechts KachelX + 1 100312 KachelY + 1 96847 1.66705362 -1.13213297 95.515137 -64.866441
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13211261--1.13213297) × R
    2.03599999999415e-05 × 6371000     		dl = 129.713559999628m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13211261--1.13213297) × R
    2.03599999999415e-05 × 6371000     		dr = 129.713559999628m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66700568-1.66705362) × cos(-1.13211261) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.424748186999189 × 6371000     		do = 129.729029327801m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66700568-1.66705362) × cos(-1.13213297) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.424729754768278 × 6371000     		du = 129.723399650035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13211261)-sin(-1.13213297))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424748186999189-0.424729754768278)×R²
    abs(1.66705362-1.66700568)×1.84322309118023e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.84322309118023e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.84322309118023e-05×40589641000000     		ar = 16827.2491072882m²