Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10031 / 18317
↖ ↑ ↗
← N 61.905340°
W124.898071°		 ← 287.64 m → N 61.905340°
W124.892578°		 →
↑
287.71 m
↓
↑
287.71 m
↓
N 61.902752°
W124.898071°		 ← 287.66 m →
82 761 m²		 N 61.902752°
W124.892578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18317 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.153068542480469 y=0.279502868652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.153068542480469 × 216)
    floor (0.153068542480469 × 65536)
    floor (10031.5)     		tx = 10031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.279502868652344 × 216)
    floor (0.279502868652344 × 65536)
    floor (18317.5)     		ty = 18317
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10031 / 18317 ti = "16/10031/18317"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10031/18317.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10031 ÷ 216
    10031 ÷ 65536     		x = 0.153060913085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18317 ÷ 216
    18317 ÷ 65536     		y = 0.279495239257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.153060913085938 × 2 - 1) × π
    -0.693878173828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.17988257
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.279495239257812 × 2 - 1) × π
    0.441009521484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.38547227281886
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.17988257} λ = -2.17988257}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.38547227281886))-π/2
    2×atan(3.99671299808392)-π/2
    2×1.3256241609592-π/2
    2.6512483219184-1.57079632675     		φ = 1.08045200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.17988257} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -124.898071°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08045200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.905340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10031 KachelY 18317 -2.17988257 1.08045200 -124.898071 61.905340
    Oben rechts KachelX + 1 10032 KachelY 18317 -2.17978670 1.08045200 -124.892578 61.905340
    Unten links KachelX 10031 KachelY + 1 18318 -2.17988257 1.08040684 -124.898071 61.902752
    Unten rechts KachelX + 1 10032 KachelY + 1 18318 -2.17978670 1.08040684 -124.892578 61.902752
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08045200-1.08040684) × R
    4.51599999999885e-05 × 6371000     		dl = 287.714359999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08045200-1.08040684) × R
    4.51599999999885e-05 × 6371000     		dr = 287.714359999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.17988257--2.17978670) × cos(1.08045200) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.470929671111468 × 6371000     		do = 287.638083645001m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.17988257--2.17978670) × cos(1.08040684) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.470969509462637 × 6371000     		du = 287.662416422671m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08045200)-sin(1.08040684))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.470929671111468-0.470969509462637)×R²
    abs(-2.17978670--2.17988257)×3.9838351168775e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.9838351168775e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.9838351168775e-05×40589641000000     		ar = 82761.107606487m²