Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100309 / 101978
↖ ↑ ↗
← S 70.224169°
E 95.506897°		 ← 103.34 m → S 70.224169°
E 95.509644°		 →
↑
103.34 m
↓
↑
103.34 m
↓
S 70.225099°
E 95.506897°		 ← 103.33 m →
10 678 m²		 S 70.225099°
E 95.509644°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100309 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101978 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765300750732422 y=0.778034210205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765300750732422 × 217)
    floor (0.765300750732422 × 131072)
    floor (100309.5)     		tx = 100309
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778034210205078 × 217)
    floor (0.778034210205078 × 131072)
    floor (101978.5)     		ty = 101978
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100309 / 101978 ti = "17/100309/101978"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100309/101978.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100309 ÷ 217
    100309 ÷ 131072     		x = 0.765296936035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101978 ÷ 217
    101978 ÷ 131072     		y = 0.778030395507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765296936035156 × 2 - 1) × π
    0.530593872070312 × 3.1415926535     		Λ = 1.66690981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778030395507812 × 2 - 1) × π
    -0.556060791015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.74691649595409
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66690981} λ = 1.66690981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74691649595409))-π/2
    2×atan(0.174310603079004)-π/2
    2×0.172576676734423-π/2
    0.345153353468845-1.57079632675     		φ = -1.22564297
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66690981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.506897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22564297 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.224169°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100309 KachelY 101978 1.66690981 -1.22564297 95.506897 -70.224169
    Oben rechts KachelX + 1 100310 KachelY 101978 1.66695775 -1.22564297 95.509644 -70.224169
    Unten links KachelX 100309 KachelY + 1 101979 1.66690981 -1.22565919 95.506897 -70.225099
    Unten rechts KachelX + 1 100310 KachelY + 1 101979 1.66695775 -1.22565919 95.509644 -70.225099
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22564297--1.22565919) × R
    1.62200000000112e-05 × 6371000     		dl = 103.337620000072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22564297--1.22565919) × R
    1.62200000000112e-05 × 6371000     		dr = 103.337620000072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66690981-1.66695775) × cos(-1.22564297) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.338340993585487 × 6371000     		do = 103.338048338115m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66690981-1.66695775) × cos(-1.22565919) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.338325730138565 × 6371000     		du = 103.333386488544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22564297)-sin(-1.22565919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338340993585487-0.338325730138565)×R²
    abs(1.66695775-1.66690981)×1.52634469215429e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52634469215429e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52634469215429e-05×40589641000000     		ar = 10678.4670986713m²