Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100308 / 99673
↖ ↑ ↗
← S 67.967423°
E 95.504150°		 ← 114.58 m → S 67.967423°
E 95.506897°		 →
↑
114.55 m
↓
↑
114.55 m
↓
S 67.968453°
E 95.504150°		 ← 114.57 m →
13 124 m²		 S 67.968453°
E 95.506897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99673 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765293121337891 y=0.760448455810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765293121337891 × 217)
    floor (0.765293121337891 × 131072)
    floor (100308.5)     		tx = 100308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760448455810547 × 217)
    floor (0.760448455810547 × 131072)
    floor (99673.5)     		ty = 99673
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100308 / 99673 ti = "17/100308/99673"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100308/99673.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100308 ÷ 217
    100308 ÷ 131072     		x = 0.765289306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99673 ÷ 217
    99673 ÷ 131072     		y = 0.760444641113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765289306640625 × 2 - 1) × π
    0.53057861328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66686187
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760444641113281 × 2 - 1) × π
    -0.520889282226562 × 3.1415926535     		Φ = -1.63642194232986
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66686187} λ = 1.66686187}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63642194232986))-π/2
    2×atan(0.194675357265791)-π/2
    2×0.192270507995216-π/2
    0.384541015990432-1.57079632675     		φ = -1.18625531
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66686187} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.504150°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18625531 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.967423°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100308 KachelY 99673 1.66686187 -1.18625531 95.504150 -67.967423
    Oben rechts KachelX + 1 100309 KachelY 99673 1.66690981 -1.18625531 95.506897 -67.967423
    Unten links KachelX 100308 KachelY + 1 99674 1.66686187 -1.18627329 95.504150 -67.968453
    Unten rechts KachelX + 1 100309 KachelY + 1 99674 1.66690981 -1.18627329 95.506897 -67.968453
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18625531--1.18627329) × R
    1.7979999999973e-05 × 6371000     		dl = 114.550579999828m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18625531--1.18627329) × R
    1.7979999999973e-05 × 6371000     		dr = 114.550579999828m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66686187-1.66690981) × cos(-1.18625531) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.375133712288632 × 6371000     		do = 114.575491674627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66686187-1.66690981) × cos(-1.18627329) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.375117045294624 × 6371000     		du = 114.570401145649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18625531)-sin(-1.18627329))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375133712288632-0.375117045294624)×R²
    abs(1.66690981-1.66686187)×1.66669940084296e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.66669940084296e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.66669940084296e-05×40589641000000     		ar = 13124.3974639123m²