Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100302 / 101996
↖ ↑ ↗
← S 70.240890°
E 95.487671°		 ← 103.25 m → S 70.240890°
E 95.490418°		 →
↑
103.21 m
↓
↑
103.21 m
↓
S 70.241818°
E 95.487671°		 ← 103.25 m →
10 657 m²		 S 70.241818°
E 95.490418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100302 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101996 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765247344970703 y=0.778171539306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765247344970703 × 217)
    floor (0.765247344970703 × 131072)
    floor (100302.5)     		tx = 100302
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778171539306641 × 217)
    floor (0.778171539306641 × 131072)
    floor (101996.5)     		ty = 101996
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100302 / 101996 ti = "17/100302/101996"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100302/101996.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100302 ÷ 217
    100302 ÷ 131072     		x = 0.765243530273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101996 ÷ 217
    101996 ÷ 131072     		y = 0.778167724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765243530273438 × 2 - 1) × π
    0.530487060546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.66657425
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778167724609375 × 2 - 1) × π
    -0.55633544921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.74777936014725
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66657425} λ = 1.66657425}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74777936014725))-π/2
    2×atan(0.174160261572598)-π/2
    2×0.172430764820094-π/2
    0.344861529640187-1.57079632675     		φ = -1.22593480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66657425} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.487671°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22593480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.240890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100302 KachelY 101996 1.66657425 -1.22593480 95.487671 -70.240890
    Oben rechts KachelX + 1 100303 KachelY 101996 1.66662219 -1.22593480 95.490418 -70.240890
    Unten links KachelX 100302 KachelY + 1 101997 1.66657425 -1.22595100 95.487671 -70.241818
    Unten rechts KachelX + 1 100303 KachelY + 1 101997 1.66662219 -1.22595100 95.490418 -70.241818
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22593480--1.22595100) × R
    1.61999999999107e-05 × 6371000     		dl = 103.210199999431m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22593480--1.22595100) × R
    1.61999999999107e-05 × 6371000     		dr = 103.210199999431m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66657425-1.66662219) × cos(-1.22593480) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.338066360271609 × 6371000     		do = 103.254168254995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66657425-1.66662219) × cos(-1.22595100) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.338051114046398 × 6371000     		du = 103.249511665378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22593480)-sin(-1.22595100))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338066360271609-0.338051114046398)×R²
    abs(1.66662219-1.66657425)×1.52462252114849e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52462252114849e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52462252114849e-05×40589641000000     		ar = 10656.6430529968m²