Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10030 / 10294
↖ ↑ ↗
← S 41.869561°
E 40.385742°		 ← 1 819.43 m → S 41.869561°
E 40.407715°		 →
↑
1 819.18 m
↓
↑
1 819.18 m
↓
S 41.885921°
E 40.385742°		 ← 1 818.96 m →
3 309 433 m²		 S 41.885921°
E 40.407715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10030 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10294 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.612213134765625 y=0.628326416015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.612213134765625 × 214)
    floor (0.612213134765625 × 16384)
    floor (10030.5)     		tx = 10030
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628326416015625 × 214)
    floor (0.628326416015625 × 16384)
    floor (10294.5)     		ty = 10294
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10030 / 10294 ti = "14/10030/10294"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10030/10294.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10030 ÷ 214
    10030 ÷ 16384     		x = 0.6121826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10294 ÷ 214
    10294 ÷ 16384     		y = 0.6282958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6121826171875 × 2 - 1) × π
    0.224365234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.70486417
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6282958984375 × 2 - 1) × π
    -0.256591796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.806106904010864
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70486417} λ = 0.70486417}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.806106904010864))-π/2
    2×atan(0.446593316933429)-π/2
    2×0.420017317008479-π/2
    0.840034634016959-1.57079632675     		φ = -0.73076169
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70486417} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.385742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73076169 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.869561°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10030 KachelY 10294 0.70486417 -0.73076169 40.385742 -41.869561
    Oben rechts KachelX + 1 10031 KachelY 10294 0.70524767 -0.73076169 40.407715 -41.869561
    Unten links KachelX 10030 KachelY + 1 10295 0.70486417 -0.73104723 40.385742 -41.885921
    Unten rechts KachelX + 1 10031 KachelY + 1 10295 0.70524767 -0.73104723 40.407715 -41.885921
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73076169--0.73104723) × R
    0.000285540000000029 × 6371000     		dl = 1819.17534000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73076169--0.73104723) × R
    0.000285540000000029 × 6371000     		dr = 1819.17534000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70486417-0.70524767) × cos(-0.73076169) × R
    0.000383499999999981 × 0.744666238297177 × 6371000     		do = 1819.42700970728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70486417-0.70524767) × cos(-0.73104723) × R
    0.000383499999999981 × 0.744475627971783 × 6371000     		du = 1818.96129559737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73076169)-sin(-0.73104723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.744666238297177-0.744475627971783)×R²
    abs(0.70524767-0.70486417)×0.000190610325394469×R²
    0.000383499999999981×0.000190610325394469×6371000²
    0.000383499999999981×0.000190610325394469×40589641000000     		ar = 3309433.16366288m²