Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100299 / 101927
↖ ↑ ↗
← S 70.176722°
E 95.479431°		 ← 103.58 m → S 70.176722°
E 95.482178°		 →
↑
103.59 m
↓
↑
103.59 m
↓
S 70.177653°
E 95.479431°		 ← 103.57 m →
10 729 m²		 S 70.177653°
E 95.482178°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100299 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101927 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765224456787109 y=0.777645111083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765224456787109 × 217)
    floor (0.765224456787109 × 131072)
    floor (100299.5)     		tx = 100299
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777645111083984 × 217)
    floor (0.777645111083984 × 131072)
    floor (101927.5)     		ty = 101927
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100299 / 101927 ti = "17/100299/101927"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100299/101927.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100299 ÷ 217
    100299 ÷ 131072     		x = 0.765220642089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101927 ÷ 217
    101927 ÷ 131072     		y = 0.777641296386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765220642089844 × 2 - 1) × π
    0.530441284179688 × 3.1415926535     		Λ = 1.66643044
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777641296386719 × 2 - 1) × π
    -0.555282592773438 × 3.1415926535     		Φ = -1.74447171407346
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66643044} λ = 1.66643044}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74447171407346))-π/2
    2×atan(0.174737275831402)-π/2
    2×0.172990737759878-π/2
    0.345981475519756-1.57079632675     		φ = -1.22481485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66643044} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.479431°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22481485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.176722°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100299 KachelY 101927 1.66643044 -1.22481485 95.479431 -70.176722
    Oben rechts KachelX + 1 100300 KachelY 101927 1.66647838 -1.22481485 95.482178 -70.176722
    Unten links KachelX 100299 KachelY + 1 101928 1.66643044 -1.22483111 95.479431 -70.177653
    Unten rechts KachelX + 1 100300 KachelY + 1 101928 1.66647838 -1.22483111 95.482178 -70.177653
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22481485--1.22483111) × R
    1.62599999999902e-05 × 6371000     		dl = 103.592459999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22481485--1.22483111) × R
    1.62599999999902e-05 × 6371000     		dr = 103.592459999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66643044-1.66647838) × cos(-1.22481485) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.339120157926623 × 6371000     		do = 103.576025183588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66643044-1.66647838) × cos(-1.22483111) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.339104861399521 × 6371000     		du = 103.571353230478m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22481485)-sin(-1.22483111))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339120157926623-0.339104861399521)×R²
    abs(1.66647838-1.66643044)×1.52965271015826e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52965271015826e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52965271015826e-05×40589641000000     		ar = 10729.4532563422m²