Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100298 / 96838
↖ ↑ ↗
← S 64.855940°
E 95.476684°		 ← 129.77 m → S 64.855940°
E 95.479431°		 →
↑
129.71 m
↓
↑
129.71 m
↓
S 64.857107°
E 95.476684°		 ← 129.77 m →
16 833 m²		 S 64.857107°
E 95.479431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96838 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765216827392578 y=0.738819122314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765216827392578 × 217)
    floor (0.765216827392578 × 131072)
    floor (100298.5)     		tx = 100298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738819122314453 × 217)
    floor (0.738819122314453 × 131072)
    floor (96838.5)     		ty = 96838
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100298 / 96838 ti = "17/100298/96838"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100298/96838.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100298 ÷ 217
    100298 ÷ 131072     		x = 0.765213012695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96838 ÷ 217
    96838 ÷ 131072     		y = 0.738815307617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765213012695312 × 2 - 1) × π
    0.530426025390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.66638250
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738815307617188 × 2 - 1) × π
    -0.477630615234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.500520831907
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66638250} λ = 1.66638250}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.500520831907))-π/2
    2×atan(0.223013977100157)-π/2
    2×0.219423315073807-π/2
    0.438846630147614-1.57079632675     		φ = -1.13194970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66638250} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.476684°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13194970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.855940°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100298 KachelY 96838 1.66638250 -1.13194970 95.476684 -64.855940
    Oben rechts KachelX + 1 100299 KachelY 96838 1.66643044 -1.13194970 95.479431 -64.855940
    Unten links KachelX 100298 KachelY + 1 96839 1.66638250 -1.13197006 95.476684 -64.857107
    Unten rechts KachelX + 1 100299 KachelY + 1 96839 1.66643044 -1.13197006 95.479431 -64.857107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13194970--1.13197006) × R
    2.03599999999415e-05 × 6371000     		dl = 129.713559999628m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13194970--1.13197006) × R
    2.03599999999415e-05 × 6371000     		dr = 129.713559999628m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66638250-1.66643044) × cos(-1.13194970) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.424895665664567 × 6371000     		do = 129.774073108308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66638250-1.66643044) × cos(-1.13197006) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.424877234842694 × 6371000     		du = 129.768443860899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13194970)-sin(-1.13197006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424895665664567-0.424877234842694)×R²
    abs(1.66643044-1.66638250)×1.84308218727502e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.84308218727502e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.84308218727502e-05×40589641000000     		ar = 16833.0919243689m²