Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100295 / 96682
↖ ↑ ↗
← S 64.673269°
E 95.468445°		 ← 130.65 m → S 64.673269°
E 95.471191°		 →
↑
130.61 m
↓
↑
130.61 m
↓
S 64.674444°
E 95.468445°		 ← 130.65 m →
17 064 m²		 S 64.674444°
E 95.471191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100295 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96682 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765193939208984 y=0.737628936767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765193939208984 × 217)
    floor (0.765193939208984 × 131072)
    floor (100295.5)     		tx = 100295
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737628936767578 × 217)
    floor (0.737628936767578 × 131072)
    floor (96682.5)     		ty = 96682
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100295 / 96682 ti = "17/100295/96682"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100295/96682.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100295 ÷ 217
    100295 ÷ 131072     		x = 0.765190124511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96682 ÷ 217
    96682 ÷ 131072     		y = 0.737625122070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765190124511719 × 2 - 1) × π
    0.530380249023438 × 3.1415926535     		Λ = 1.66623869
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.737625122070312 × 2 - 1) × π
    -0.475250244140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.49304267556627
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66623869} λ = 1.66623869}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49304267556627))-π/2
    2×atan(0.224687961845744)-π/2
    2×0.22101742010047-π/2
    0.442034840200941-1.57079632675     		φ = -1.12876149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66623869} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.468445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12876149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.673269°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100295 KachelY 96682 1.66623869 -1.12876149 95.468445 -64.673269
    Oben rechts KachelX + 1 100296 KachelY 96682 1.66628663 -1.12876149 95.471191 -64.673269
    Unten links KachelX 100295 KachelY + 1 96683 1.66623869 -1.12878199 95.468445 -64.674444
    Unten rechts KachelX + 1 100296 KachelY + 1 96683 1.66628663 -1.12878199 95.471191 -64.674444
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12876149--1.12878199) × R
    2.04999999999789e-05 × 6371000     		dl = 130.605499999865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12876149--1.12878199) × R
    2.04999999999789e-05 × 6371000     		dr = 130.605499999865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66623869-1.66628663) × cos(-1.12876149) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.427779603956269 × 6371000     		do = 130.65490209577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66623869-1.66628663) × cos(-1.12878199) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.427761074263377 × 6371000     		du = 130.649242650606m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12876149)-sin(-1.12878199))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427779603956269-0.427761074263377)×R²
    abs(1.66628663-1.66623869)×1.85296928912337e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.85296928912337e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.85296928912337e-05×40589641000000     		ar = 17063.8792388935m²