Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100294 / 96856
↖ ↑ ↗
← S 64.876938°
E 95.465698°		 ← 129.65 m → S 64.876938°
E 95.468445°		 →
↑
129.65 m
↓
↑
129.65 m
↓
S 64.878104°
E 95.465698°		 ← 129.64 m →
16 808 m²		 S 64.878104°
E 95.468445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100294 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96856 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765186309814453 y=0.738956451416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765186309814453 × 217)
    floor (0.765186309814453 × 131072)
    floor (100294.5)     		tx = 100294
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738956451416016 × 217)
    floor (0.738956451416016 × 131072)
    floor (96856.5)     		ty = 96856
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100294 / 96856 ti = "17/100294/96856"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100294/96856.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100294 ÷ 217
    100294 ÷ 131072     		x = 0.765182495117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96856 ÷ 217
    96856 ÷ 131072     		y = 0.73895263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765182495117188 × 2 - 1) × π
    0.530364990234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66619076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73895263671875 × 2 - 1) × π
    -0.4779052734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.50138369610016
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66619076} λ = 1.66619076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50138369610016))-π/2
    2×atan(0.222821629321682)-π/2
    2×0.219240073023345-π/2
    0.438480146046689-1.57079632675     		φ = -1.13231618
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66619076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.465698°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13231618 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.876938°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100294 KachelY 96856 1.66619076 -1.13231618 95.465698 -64.876938
    Oben rechts KachelX + 1 100295 KachelY 96856 1.66623869 -1.13231618 95.468445 -64.876938
    Unten links KachelX 100294 KachelY + 1 96857 1.66619076 -1.13233653 95.465698 -64.878104
    Unten rechts KachelX + 1 100295 KachelY + 1 96857 1.66623869 -1.13233653 95.468445 -64.878104
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13231618--1.13233653) × R
    2.03500000000023e-05 × 6371000     		dl = 129.649850000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13231618--1.13233653) × R
    2.03500000000023e-05 × 6371000     		dr = 129.649850000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66619076-1.66623869) × cos(-1.13231618) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.42456388393009 × 6371000     		do = 129.645689461055m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66619076-1.66623869) × cos(-1.13233653) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.424545458993217 × 6371000     		du = 129.640063184929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13231618)-sin(-1.13233653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.42456388393009-0.424545458993217)×R²
    abs(1.66623869-1.66619076)×1.8424936872985e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.8424936872985e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.8424936872985e-05×40589641000000     		ar = 16808.1794693069m²