Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100293 / 101965
↖ ↑ ↗
← S 70.212085°
E 95.462952°		 ← 103.40 m → S 70.212085°
E 95.465698°		 →
↑
103.40 m
↓
↑
103.40 m
↓
S 70.213015°
E 95.462952°		 ← 103.39 m →
10 691 m²		 S 70.213015°
E 95.465698°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100293 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101965 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765178680419922 y=0.777935028076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765178680419922 × 217)
    floor (0.765178680419922 × 131072)
    floor (100293.5)     		tx = 100293
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777935028076172 × 217)
    floor (0.777935028076172 × 131072)
    floor (101965.5)     		ty = 101965
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100293 / 101965 ti = "17/100293/101965"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100293/101965.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100293 ÷ 217
    100293 ÷ 131072     		x = 0.765174865722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101965 ÷ 217
    101965 ÷ 131072     		y = 0.777931213378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765174865722656 × 2 - 1) × π
    0.530349731445312 × 3.1415926535     		Λ = 1.66614282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777931213378906 × 2 - 1) × π
    -0.555862426757812 × 3.1415926535     		Φ = -1.74629331625903
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66614282} λ = 1.66614282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74629331625903))-π/2
    2×atan(0.174419263761525)-π/2
    2×0.17268213126893-π/2
    0.34536426253786-1.57079632675     		φ = -1.22543206
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66614282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.462952°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22543206 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.212085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100293 KachelY 101965 1.66614282 -1.22543206 95.462952 -70.212085
    Oben rechts KachelX + 1 100294 KachelY 101965 1.66619076 -1.22543206 95.465698 -70.212085
    Unten links KachelX 100293 KachelY + 1 101966 1.66614282 -1.22544829 95.462952 -70.213015
    Unten rechts KachelX + 1 100294 KachelY + 1 101966 1.66619076 -1.22544829 95.465698 -70.213015
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22543206--1.22544829) × R
    1.62300000001725e-05 × 6371000     		dl = 103.401330001099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22543206--1.22544829) × R
    1.62300000001725e-05 × 6371000     		dr = 103.401330001099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66614282-1.66619076) × cos(-1.22543206) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.338539457341378 × 6371000     		do = 103.3986642781m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66614282-1.66619076) × cos(-1.22544829) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.338524185642644 × 6371000     		du = 103.393999908213m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22543206)-sin(-1.22544829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338539457341378-0.338524185642644)×R²
    abs(1.66619076-1.66614282)×1.52716987341095e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.52716987341095e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.52716987341095e-05×40589641000000     		ar = 10691.3182557397m²