Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100291 / 99589
↖ ↑ ↗
← S 67.880713°
E 95.457459°		 ← 114.98 m → S 67.880713°
E 95.460205°		 →
↑
115 m
↓
↑
115 m
↓
S 67.881747°
E 95.457459°		 ← 114.97 m →
13 222 m²		 S 67.881747°
E 95.460205°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100291 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99589 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765163421630859 y=0.759807586669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765163421630859 × 217)
    floor (0.765163421630859 × 131072)
    floor (100291.5)     		tx = 100291
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759807586669922 × 217)
    floor (0.759807586669922 × 131072)
    floor (99589.5)     		ty = 99589
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100291 / 99589 ti = "17/100291/99589"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100291/99589.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100291 ÷ 217
    100291 ÷ 131072     		x = 0.765159606933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99589 ÷ 217
    99589 ÷ 131072     		y = 0.759803771972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765159606933594 × 2 - 1) × π
    0.530319213867188 × 3.1415926535     		Λ = 1.66604695
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759803771972656 × 2 - 1) × π
    -0.519607543945312 × 3.1415926535     		Φ = -1.63239524276177
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66604695} λ = 1.66604695}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63239524276177))-π/2
    2×atan(0.19546083682658)-π/2
    2×0.193027194421956-π/2
    0.386054388843912-1.57079632675     		φ = -1.18474194
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66604695} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.457459°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18474194 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.880713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100291 KachelY 99589 1.66604695 -1.18474194 95.457459 -67.880713
    Oben rechts KachelX + 1 100292 KachelY 99589 1.66609488 -1.18474194 95.460205 -67.880713
    Unten links KachelX 100291 KachelY + 1 99590 1.66604695 -1.18475999 95.457459 -67.881747
    Unten rechts KachelX + 1 100292 KachelY + 1 99590 1.66609488 -1.18475999 95.460205 -67.881747
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18474194--1.18475999) × R
    1.80499999999917e-05 × 6371000     		dl = 114.996549999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18474194--1.18475999) × R
    1.80499999999917e-05 × 6371000     		dr = 114.996549999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66604695-1.66609488) × cos(-1.18474194) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.376536131834934 × 6371000     		do = 114.979837585533m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66604695-1.66609488) × cos(-1.18475999) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.376519410218706 × 6371000     		du = 114.974731438857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18474194)-sin(-1.18475999))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.376536131834934-0.376519410218706)×R²
    abs(1.66609488-1.66604695)×1.67216162275108e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.67216162275108e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.67216162275108e-05×40589641000000     		ar = 13221.9910476151m²