Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100290 / 96704
↖ ↑ ↗
← S 64.699105°
E 95.454712°		 ← 130.53 m → S 64.699105°
E 95.457459°		 →
↑
130.54 m
↓
↑
130.54 m
↓
S 64.700279°
E 95.454712°		 ← 130.52 m →
17 039 m²		 S 64.700279°
E 95.457459°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100290 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96704 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765155792236328 y=0.737796783447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765155792236328 × 217)
    floor (0.765155792236328 × 131072)
    floor (100290.5)     		tx = 100290
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737796783447266 × 217)
    floor (0.737796783447266 × 131072)
    floor (96704.5)     		ty = 96704
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100290 / 96704 ti = "17/100290/96704"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100290/96704.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100290 ÷ 217
    100290 ÷ 131072     		x = 0.765151977539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96704 ÷ 217
    96704 ÷ 131072     		y = 0.73779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765151977539062 × 2 - 1) × π
    0.530303955078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66599901
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73779296875 × 2 - 1) × π
    -0.4755859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.49409728735791
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66599901} λ = 1.66599901}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49409728735791))-π/2
    2×atan(0.224451128177482)-π/2
    2×0.220791956877217-π/2
    0.441583913754434-1.57079632675     		φ = -1.12921241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66599901} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.454712°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12921241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.699105°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100290 KachelY 96704 1.66599901 -1.12921241 95.454712 -64.699105
    Oben rechts KachelX + 1 100291 KachelY 96704 1.66604695 -1.12921241 95.457459 -64.699105
    Unten links KachelX 100290 KachelY + 1 96705 1.66599901 -1.12923290 95.454712 -64.700279
    Unten rechts KachelX + 1 100291 KachelY + 1 96705 1.66604695 -1.12923290 95.457459 -64.700279
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12921241--1.12923290) × R
    2.04900000000396e-05 × 6371000     		dl = 130.541790000253m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12921241--1.12923290) × R
    2.04900000000396e-05 × 6371000     		dr = 130.541790000253m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66599901-1.66604695) × cos(-1.12921241) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.427371981524642 × 6371000     		do = 130.530403712345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66599901-1.66604695) × cos(-1.12923290) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.427353456920232 × 6371000     		du = 130.524745821334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12921241)-sin(-1.12923290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427371981524642-0.427353456920232)×R²
    abs(1.66604695-1.66599901)×1.85246044100973e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.85246044100973e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.85246044100973e-05×40589641000000     		ar = 17039.3032550551m²