Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100290 / 101930
↖ ↑ ↗
← S 70.179516°
E 95.454712°		 ← 103.56 m → S 70.179516°
E 95.457459°		 →
↑
103.53 m
↓
↑
103.53 m
↓
S 70.180447°
E 95.454712°		 ← 103.56 m →
10 721 m²		 S 70.180447°
E 95.457459°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100290 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101930 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765155792236328 y=0.777667999267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765155792236328 × 217)
    floor (0.765155792236328 × 131072)
    floor (100290.5)     		tx = 100290
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777667999267578 × 217)
    floor (0.777667999267578 × 131072)
    floor (101930.5)     		ty = 101930
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100290 / 101930 ti = "17/100290/101930"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100290/101930.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100290 ÷ 217
    100290 ÷ 131072     		x = 0.765151977539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101930 ÷ 217
    101930 ÷ 131072     		y = 0.777664184570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765151977539062 × 2 - 1) × π
    0.530303955078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66599901
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777664184570312 × 2 - 1) × π
    -0.555328369140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.74461552477232
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66599901} λ = 1.66599901}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74461552477232))-π/2
    2×atan(0.174712148548477)-π/2
    2×0.172966354855925-π/2
    0.34593270971185-1.57079632675     		φ = -1.22486362
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66599901} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.454712°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22486362 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.179516°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100290 KachelY 101930 1.66599901 -1.22486362 95.454712 -70.179516
    Oben rechts KachelX + 1 100291 KachelY 101930 1.66604695 -1.22486362 95.457459 -70.179516
    Unten links KachelX 100290 KachelY + 1 101931 1.66599901 -1.22487987 95.454712 -70.180447
    Unten rechts KachelX + 1 100291 KachelY + 1 101931 1.66604695 -1.22487987 95.457459 -70.180447
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22486362--1.22487987) × R
    1.62500000000509e-05 × 6371000     		dl = 103.528750000325m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22486362--1.22487987) × R
    1.62500000000509e-05 × 6371000     		dr = 103.528750000325m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66599901-1.66604695) × cos(-1.22486362) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.339074277483952 × 6371000     		do = 103.562012115434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66599901-1.66604695) × cos(-1.22487987) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.339058990095604 × 6371000     		du = 103.557342953535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22486362)-sin(-1.22487987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339074277483952-0.339058990095604)×R²
    abs(1.66604695-1.66599901)×1.52873883485505e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52873883485505e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52873883485505e-05×40589641000000     		ar = 10721.4039658386m²