Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10029 / 10291
↖ ↑ ↗
← S 41.820455°
E 40.363770°		 ← 1 820.78 m → S 41.820455°
E 40.385742°		 →
↑
1 820.51 m
↓
↑
1 820.51 m
↓
S 41.836828°
E 40.363770°		 ← 1 820.31 m →
3 314 324 m²		 S 41.836828°
E 40.385742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10029 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10291 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.612152099609375 y=0.628143310546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.612152099609375 × 214)
    floor (0.612152099609375 × 16384)
    floor (10029.5)     		tx = 10029
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628143310546875 × 214)
    floor (0.628143310546875 × 16384)
    floor (10291.5)     		ty = 10291
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10029 / 10291 ti = "14/10029/10291"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10029/10291.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10029 ÷ 214
    10029 ÷ 16384     		x = 0.61212158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10291 ÷ 214
    10291 ÷ 16384     		y = 0.62811279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61212158203125 × 2 - 1) × π
    0.2242431640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.70448068
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62811279296875 × 2 - 1) × π
    -0.2562255859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.804956418419983
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70448068} λ = 0.70448068}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.804956418419983))-π/2
    2×atan(0.447107411782198)-π/2
    2×0.420445845350976-π/2
    0.840891690701952-1.57079632675     		φ = -0.72990464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70448068} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.363770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72990464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.820455°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10029 KachelY 10291 0.70448068 -0.72990464 40.363770 -41.820455
    Oben rechts KachelX + 1 10030 KachelY 10291 0.70486417 -0.72990464 40.385742 -41.820455
    Unten links KachelX 10029 KachelY + 1 10292 0.70448068 -0.73019039 40.363770 -41.836828
    Unten rechts KachelX + 1 10030 KachelY + 1 10292 0.70486417 -0.73019039 40.385742 -41.836828
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72990464--0.73019039) × R
    0.000285749999999974 × 6371000     		dl = 1820.51324999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72990464--0.73019039) × R
    0.000285749999999974 × 6371000     		dr = 1820.51324999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70448068-0.70486417) × cos(-0.72990464) × R
    0.000383490000000042 × 0.745237991645035 × 6371000     		do = 1820.77648325725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70448068-0.70486417) × cos(-0.73019039) × R
    0.000383490000000042 × 0.745047423530157 × 6371000     		du = 1820.31088442047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72990464)-sin(-0.73019039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.745237991645035-0.745047423530157)×R²
    abs(0.70486417-0.70448068)×0.000190568114878165×R²
    0.000383490000000042×0.000190568114878165×6371000²
    0.000383490000000042×0.000190568114878165×40589641000000     		ar = 3314323.92118459m²