Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100289 / 96885
↖ ↑ ↗
← S 64.910734°
E 95.451965°		 ← 129.51 m → S 64.910734°
E 95.454712°		 →
↑
129.46 m
↓
↑
129.46 m
↓
S 64.911898°
E 95.451965°		 ← 129.50 m →
16 766 m²		 S 64.911898°
E 95.454712°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96885 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765148162841797 y=0.739177703857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765148162841797 × 217)
    floor (0.765148162841797 × 131072)
    floor (100289.5)     		tx = 100289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739177703857422 × 217)
    floor (0.739177703857422 × 131072)
    floor (96885.5)     		ty = 96885
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100289 / 96885 ti = "17/100289/96885"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100289/96885.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100289 ÷ 217
    100289 ÷ 131072     		x = 0.765144348144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96885 ÷ 217
    96885 ÷ 131072     		y = 0.739173889160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765144348144531 × 2 - 1) × π
    0.530288696289062 × 3.1415926535     		Λ = 1.66595107
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739173889160156 × 2 - 1) × π
    -0.478347778320312 × 3.1415926535     		Φ = -1.50277386618914
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66595107} λ = 1.66595107}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50277386618914))-π/2
    2×atan(0.222512084567202)-π/2
    2×0.218945150676784-π/2
    0.437890301353568-1.57079632675     		φ = -1.13290603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66595107} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.451965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13290603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.910734°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100289 KachelY 96885 1.66595107 -1.13290603 95.451965 -64.910734
    Oben rechts KachelX + 1 100290 KachelY 96885 1.66599901 -1.13290603 95.454712 -64.910734
    Unten links KachelX 100289 KachelY + 1 96886 1.66595107 -1.13292635 95.451965 -64.911898
    Unten rechts KachelX + 1 100290 KachelY + 1 96886 1.66599901 -1.13292635 95.454712 -64.911898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13290603--1.13292635) × R
    2.03199999999626e-05 × 6371000     		dl = 129.458719999762m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13290603--1.13292635) × R
    2.03199999999626e-05 × 6371000     		dr = 129.458719999762m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66595107-1.66599901) × cos(-1.13290603) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.424029761102739 × 6371000     		do = 129.509603566742m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66595107-1.66599901) × cos(-1.13292635) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.424011358242658 × 6371000     		du = 129.503982859584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13290603)-sin(-1.13292635))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424029761102739-0.424011358242658)×R²
    abs(1.66599901-1.66595107)×1.84028600808128e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.84028600808128e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.84028600808128e-05×40589641000000     		ar = 16765.7836811818m²