Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100289 / 101695
↖ ↑ ↗
← S 69.959498°
E 95.451965°		 ← 104.66 m → S 69.959498°
E 95.454712°		 →
↑
104.68 m
↓
↑
104.68 m
↓
S 69.960439°
E 95.451965°		 ← 104.66 m →
10 956 m²		 S 69.960439°
E 95.454712°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765148162841797 y=0.775875091552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765148162841797 × 217)
    floor (0.765148162841797 × 131072)
    floor (100289.5)     		tx = 100289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775875091552734 × 217)
    floor (0.775875091552734 × 131072)
    floor (101695.5)     		ty = 101695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100289 / 101695 ti = "17/100289/101695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100289/101695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100289 ÷ 217
    100289 ÷ 131072     		x = 0.765144348144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101695 ÷ 217
    101695 ÷ 131072     		y = 0.775871276855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765144348144531 × 2 - 1) × π
    0.530288696289062 × 3.1415926535     		Λ = 1.66595107
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775871276855469 × 2 - 1) × π
    -0.551742553710938 × 3.1415926535     		Φ = -1.73335035336161
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66595107} λ = 1.66595107}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73335035336161))-π/2
    2×atan(0.176691438437726)-π/2
    2×0.174886371139881-π/2
    0.349772742279761-1.57079632675     		φ = -1.22102358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66595107} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.451965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22102358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.959498°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100289 KachelY 101695 1.66595107 -1.22102358 95.451965 -69.959498
    Oben rechts KachelX + 1 100290 KachelY 101695 1.66599901 -1.22102358 95.454712 -69.959498
    Unten links KachelX 100289 KachelY + 1 101696 1.66595107 -1.22104001 95.451965 -69.960439
    Unten rechts KachelX + 1 100290 KachelY + 1 101696 1.66599901 -1.22104001 95.454712 -69.960439
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22102358--1.22104001) × R
    1.64300000000672e-05 × 6371000     		dl = 104.675530000428m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22102358--1.22104001) × R
    1.64300000000672e-05 × 6371000     		dr = 104.675530000428m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66595107-1.66599901) × cos(-1.22102358) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.342684323143197 × 6371000     		do = 104.664612982341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66595107-1.66599901) × cos(-1.22104001) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.34266888792337 × 6371000     		du = 104.659898668904m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22102358)-sin(-1.22104001))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342684323143197-0.34266888792337)×R²
    abs(1.66599901-1.66595107)×1.54352198274421e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54352198274421e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54352198274421e-05×40589641000000     		ar = 10955.5770999758m²