Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100287 / 101691
↖ ↑ ↗
← S 69.955733°
E 95.446472°		 ← 104.68 m → S 69.955733°
E 95.449219°		 →
↑
104.68 m
↓
↑
104.68 m
↓
S 69.956674°
E 95.446472°		 ← 104.68 m →
10 958 m²		 S 69.956674°
E 95.449219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100287 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101691 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765132904052734 y=0.775844573974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765132904052734 × 217)
    floor (0.765132904052734 × 131072)
    floor (100287.5)     		tx = 100287
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775844573974609 × 217)
    floor (0.775844573974609 × 131072)
    floor (101691.5)     		ty = 101691
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100287 / 101691 ti = "17/100287/101691"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100287/101691.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100287 ÷ 217
    100287 ÷ 131072     		x = 0.765129089355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101691 ÷ 217
    101691 ÷ 131072     		y = 0.775840759277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765129089355469 × 2 - 1) × π
    0.530258178710938 × 3.1415926535     		Λ = 1.66585520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775840759277344 × 2 - 1) × π
    -0.551681518554688 × 3.1415926535     		Φ = -1.73315860576313
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66585520} λ = 1.66585520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73315860576313))-π/2
    2×atan(0.176725321845146)-π/2
    2×0.174919228546785-π/2
    0.34983845709357-1.57079632675     		φ = -1.22095787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66585520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.446472°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22095787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.955733°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100287 KachelY 101691 1.66585520 -1.22095787 95.446472 -69.955733
    Oben rechts KachelX + 1 100288 KachelY 101691 1.66590314 -1.22095787 95.449219 -69.955733
    Unten links KachelX 100287 KachelY + 1 101692 1.66585520 -1.22097430 95.446472 -69.956674
    Unten rechts KachelX + 1 100288 KachelY + 1 101692 1.66590314 -1.22097430 95.449219 -69.956674
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22095787--1.22097430) × R
    1.64300000000672e-05 × 6371000     		dl = 104.675530000428m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22095787--1.22097430) × R
    1.64300000000672e-05 × 6371000     		dr = 104.675530000428m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66585520-1.66590314) × cos(-1.22095787) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.342746053703125 × 6371000     		do = 104.683467084288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66585520-1.66590314) × cos(-1.22097430) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.34273061885329 × 6371000     		du = 104.678752883855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22095787)-sin(-1.22097430))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342746053703125-0.34273061885329)×R²
    abs(1.66590314-1.66585520)×1.54348498351831e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54348498351831e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54348498351831e-05×40589641000000     		ar = 10957.550669005m²