Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100286 / 101935
↖ ↑ ↗
← S 70.184172°
E 95.443725°		 ← 103.54 m → S 70.184172°
E 95.446472°		 →
↑
103.53 m
↓
↑
103.53 m
↓
S 70.185103°
E 95.443725°		 ← 103.53 m →
10 719 m²		 S 70.185103°
E 95.446472°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100286 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101935 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765125274658203 y=0.777706146240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765125274658203 × 217)
    floor (0.765125274658203 × 131072)
    floor (100286.5)     		tx = 100286
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777706146240234 × 217)
    floor (0.777706146240234 × 131072)
    floor (101935.5)     		ty = 101935
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100286 / 101935 ti = "17/100286/101935"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100286/101935.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100286 ÷ 217
    100286 ÷ 131072     		x = 0.765121459960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101935 ÷ 217
    101935 ÷ 131072     		y = 0.777702331542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765121459960938 × 2 - 1) × π
    0.530242919921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.66580726
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777702331542969 × 2 - 1) × π
    -0.555404663085938 × 3.1415926535     		Φ = -1.74485520927042
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66580726} λ = 1.66580726}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74485520927042))-π/2
    2×atan(0.174670277772928)-π/2
    2×0.172925724012637-π/2
    0.345851448025274-1.57079632675     		φ = -1.22494488
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66580726} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.443725°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22494488 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.184172°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100286 KachelY 101935 1.66580726 -1.22494488 95.443725 -70.184172
    Oben rechts KachelX + 1 100287 KachelY 101935 1.66585520 -1.22494488 95.446472 -70.184172
    Unten links KachelX 100286 KachelY + 1 101936 1.66580726 -1.22496113 95.443725 -70.185103
    Unten rechts KachelX + 1 100287 KachelY + 1 101936 1.66585520 -1.22496113 95.446472 -70.185103
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22494488--1.22496113) × R
    1.62500000000509e-05 × 6371000     		dl = 103.528750000325m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22494488--1.22496113) × R
    1.62500000000509e-05 × 6371000     		dr = 103.528750000325m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66580726-1.66585520) × cos(-1.22494488) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.338997830239051 × 6371000     		do = 103.538663159089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66580726-1.66585520) × cos(-1.22496113) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.338982542403024 × 6371000     		du = 103.533993860457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22494488)-sin(-1.22496113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338997830239051-0.338982542403024)×R²
    abs(1.66585520-1.66580726)×1.52878360271114e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52878360271114e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52878360271114e-05×40589641000000     		ar = 10718.9866704385m²