Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100284 / 99596
↖ ↑ ↗
← S 67.887951°
E 95.438233°		 ← 114.94 m → S 67.887951°
E 95.440979°		 →
↑
114.93 m
↓
↑
114.93 m
↓
S 67.888985°
E 95.438233°		 ← 114.94 m →
13 211 m²		 S 67.888985°
E 95.440979°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100284 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99596 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765110015869141 y=0.759860992431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765110015869141 × 217)
    floor (0.765110015869141 × 131072)
    floor (100284.5)     		tx = 100284
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759860992431641 × 217)
    floor (0.759860992431641 × 131072)
    floor (99596.5)     		ty = 99596
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100284 / 99596 ti = "17/100284/99596"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100284/99596.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100284 ÷ 217
    100284 ÷ 131072     		x = 0.765106201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99596 ÷ 217
    99596 ÷ 131072     		y = 0.759857177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765106201171875 × 2 - 1) × π
    0.53021240234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66571139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759857177734375 × 2 - 1) × π
    -0.51971435546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.63273080105911
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66571139} λ = 1.66571139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63273080105911))-π/2
    2×atan(0.195395259324131)-π/2
    2×0.19296402932848-π/2
    0.385928058656961-1.57079632675     		φ = -1.18486827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66571139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.438233°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18486827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.887951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100284 KachelY 99596 1.66571139 -1.18486827 95.438233 -67.887951
    Oben rechts KachelX + 1 100285 KachelY 99596 1.66575932 -1.18486827 95.440979 -67.887951
    Unten links KachelX 100284 KachelY + 1 99597 1.66571139 -1.18488631 95.438233 -67.888985
    Unten rechts KachelX + 1 100285 KachelY + 1 99597 1.66575932 -1.18488631 95.440979 -67.888985
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18486827--1.18488631) × R
    1.80400000000525e-05 × 6371000     		dl = 114.932840000334m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18486827--1.18488631) × R
    1.80400000000525e-05 × 6371000     		dr = 114.932840000334m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66571139-1.66575932) × cos(-1.18486827) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.376419096474431 × 6371000     		do = 114.944099430269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66571139-1.66575932) × cos(-1.18488631) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.37640238326432 × 6371000     		du = 114.938995850501m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18486827)-sin(-1.18488631))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.376419096474431-0.37640238326432)×R²
    abs(1.66575932-1.66571139)×1.67132101112077e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.67132101112077e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.67132101112077e-05×40589641000000     		ar = 13210.5585047954m²