Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100282 / 99754
↖ ↑ ↗
← S 68.050730°
E 95.432739°		 ← 114.16 m → S 68.050730°
E 95.435486°		 →
↑
114.17 m
↓
↑
114.17 m
↓
S 68.051756°
E 95.432739°		 ← 114.16 m →
13 034 m²		 S 68.051756°
E 95.435486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99754 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765094757080078 y=0.761066436767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765094757080078 × 217)
    floor (0.765094757080078 × 131072)
    floor (100282.5)     		tx = 100282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761066436767578 × 217)
    floor (0.761066436767578 × 131072)
    floor (99754.5)     		ty = 99754
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100282 / 99754 ti = "17/100282/99754"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100282/99754.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100282 ÷ 217
    100282 ÷ 131072     		x = 0.765090942382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99754 ÷ 217
    99754 ÷ 131072     		y = 0.761062622070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765090942382812 × 2 - 1) × π
    0.530181884765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.66561551
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761062622070312 × 2 - 1) × π
    -0.522125244140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.64030483119908
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66561551} λ = 1.66561551}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64030483119908))-π/2
    2×atan(0.193920920133599)-π/2
    2×0.19154351612015-π/2
    0.383087032240301-1.57079632675     		φ = -1.18770929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66561551} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.432739°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18770929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.050730°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100282 KachelY 99754 1.66561551 -1.18770929 95.432739 -68.050730
    Oben rechts KachelX + 1 100283 KachelY 99754 1.66566345 -1.18770929 95.435486 -68.050730
    Unten links KachelX 100282 KachelY + 1 99755 1.66561551 -1.18772721 95.432739 -68.051756
    Unten rechts KachelX + 1 100283 KachelY + 1 99755 1.66566345 -1.18772721 95.435486 -68.051756
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18770929--1.18772721) × R
    1.79200000001156e-05 × 6371000     		dl = 114.168320000737m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18770929--1.18772721) × R
    1.79200000001156e-05 × 6371000     		dr = 114.168320000737m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66561551-1.66566345) × cos(-1.18770929) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.373785519362926 × 6371000     		do = 114.163718852631m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66561551-1.66566345) × cos(-1.18772721) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.373768898231113 × 6371000     		du = 114.158642331148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18770929)-sin(-1.18772721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373785519362926-0.373768898231113)×R²
    abs(1.66566345-1.66561551)×1.66211318128884e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.66211318128884e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.66211318128884e-05×40589641000000     		ar = 13033.5901979195m²