Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100281 / 99753
↖ ↑ ↗
← S 68.049703°
E 95.429993°		 ← 114.14 m → S 68.049703°
E 95.432739°		 →
↑
114.10 m
↓
↑
114.10 m
↓
S 68.050730°
E 95.429993°		 ← 114.14 m →
13 024 m²		 S 68.050730°
E 95.432739°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99753 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765087127685547 y=0.761058807373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765087127685547 × 217)
    floor (0.765087127685547 × 131072)
    floor (100281.5)     		tx = 100281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761058807373047 × 217)
    floor (0.761058807373047 × 131072)
    floor (99753.5)     		ty = 99753
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100281 / 99753 ti = "17/100281/99753"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100281/99753.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100281 ÷ 217
    100281 ÷ 131072     		x = 0.765083312988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99753 ÷ 217
    99753 ÷ 131072     		y = 0.761054992675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765083312988281 × 2 - 1) × π
    0.530166625976562 × 3.1415926535     		Λ = 1.66556758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761054992675781 × 2 - 1) × π
    -0.522109985351562 × 3.1415926535     		Φ = -1.64025689429946
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66556758} λ = 1.66556758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64025689429946))-π/2
    2×atan(0.193930216324096)-π/2
    2×0.191552475378682-π/2
    0.383104950757364-1.57079632675     		φ = -1.18769138
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66556758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.429993°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18769138 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.049703°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100281 KachelY 99753 1.66556758 -1.18769138 95.429993 -68.049703
    Oben rechts KachelX + 1 100282 KachelY 99753 1.66561551 -1.18769138 95.432739 -68.049703
    Unten links KachelX 100281 KachelY + 1 99754 1.66556758 -1.18770929 95.429993 -68.050730
    Unten rechts KachelX + 1 100282 KachelY + 1 99754 1.66561551 -1.18770929 95.432739 -68.050730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18769138--1.18770929) × R
    1.79099999999544e-05 × 6371000     		dl = 114.104609999709m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18769138--1.18770929) × R
    1.79099999999544e-05 × 6371000     		dr = 114.104609999709m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66556758-1.66561551) × cos(-1.18769138) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.373802131099622 × 6371000     		do = 114.144977570976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66556758-1.66561551) × cos(-1.18770929) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.373785519362926 × 6371000     		du = 114.139904977337m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18769138)-sin(-1.18770929))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373802131099622-0.373785519362926)×R²
    abs(1.66561551-1.66556758)×1.66117366956486e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.66117366956486e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.66117366956486e-05×40589641000000     		ar = 13024.1787462226m²