Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100281 / 99752
↖ ↑ ↗
← S 68.048677°
E 95.429993°		 ← 114.15 m → S 68.048677°
E 95.432739°		 →
↑
114.17 m
↓
↑
114.17 m
↓
S 68.049703°
E 95.429993°		 ← 114.14 m →
13 032 m²		 S 68.049703°
E 95.432739°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99752 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765087127685547 y=0.761051177978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765087127685547 × 217)
    floor (0.765087127685547 × 131072)
    floor (100281.5)     		tx = 100281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761051177978516 × 217)
    floor (0.761051177978516 × 131072)
    floor (99752.5)     		ty = 99752
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100281 / 99752 ti = "17/100281/99752"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100281/99752.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100281 ÷ 217
    100281 ÷ 131072     		x = 0.765083312988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99752 ÷ 217
    99752 ÷ 131072     		y = 0.76104736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765083312988281 × 2 - 1) × π
    0.530166625976562 × 3.1415926535     		Λ = 1.66556758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76104736328125 × 2 - 1) × π
    -0.5220947265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.64020895739984
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66556758} λ = 1.66556758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64020895739984))-π/2
    2×atan(0.193939512960233)-π/2
    2×0.191561435035568-π/2
    0.383122870071136-1.57079632675     		φ = -1.18767346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66556758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.429993°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18767346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.048677°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100281 KachelY 99752 1.66556758 -1.18767346 95.429993 -68.048677
    Oben rechts KachelX + 1 100282 KachelY 99752 1.66561551 -1.18767346 95.432739 -68.048677
    Unten links KachelX 100281 KachelY + 1 99753 1.66556758 -1.18769138 95.429993 -68.049703
    Unten rechts KachelX + 1 100282 KachelY + 1 99753 1.66561551 -1.18769138 95.432739 -68.049703
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18767346--1.18769138) × R
    1.79199999998936e-05 × 6371000     		dl = 114.168319999322m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18767346--1.18769138) × R
    1.79199999998936e-05 × 6371000     		dr = 114.168319999322m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66556758-1.66561551) × cos(-1.18767346) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.373818751991431 × 6371000     		do = 114.15005296024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66556758-1.66561551) × cos(-1.18769138) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.373802131099622 × 6371000     		du = 114.144977570976m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18767346)-sin(-1.18769138))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373818751991431-0.373802131099622)×R²
    abs(1.66561551-1.66556758)×1.66208918094823e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.66208918094823e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.66208918094823e-05×40589641000000     		ar = 13032.0300503472m²