Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100280 / 98236
↖ ↑ ↗
← S 66.438715°
E 95.427246°		 ← 122.09 m → S 66.438715°
E 95.429993°		 →
↑
122.07 m
↓
↑
122.07 m
↓
S 66.439813°
E 95.427246°		 ← 122.08 m →
14 903 m²		 S 66.439813°
E 95.429993°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98236 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765079498291016 y=0.749485015869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765079498291016 × 217)
    floor (0.765079498291016 × 131072)
    floor (100280.5)     		tx = 100280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749485015869141 × 217)
    floor (0.749485015869141 × 131072)
    floor (98236.5)     		ty = 98236
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100280 / 98236 ti = "17/100280/98236"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100280/98236.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100280 ÷ 217
    100280 ÷ 131072     		x = 0.76507568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98236 ÷ 217
    98236 ÷ 131072     		y = 0.749481201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76507568359375 × 2 - 1) × π
    0.5301513671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.66551964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749481201171875 × 2 - 1) × π
    -0.49896240234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.56753661757584
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66551964} λ = 1.66551964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56753661757584))-π/2
    2×atan(0.208558308956712)-π/2
    2×0.205610996737663-π/2
    0.411221993475326-1.57079632675     		φ = -1.15957433
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66551964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.427246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15957433 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.438715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100280 KachelY 98236 1.66551964 -1.15957433 95.427246 -66.438715
    Oben rechts KachelX + 1 100281 KachelY 98236 1.66556758 -1.15957433 95.429993 -66.438715
    Unten links KachelX 100280 KachelY + 1 98237 1.66551964 -1.15959349 95.427246 -66.439813
    Unten rechts KachelX + 1 100281 KachelY + 1 98237 1.66556758 -1.15959349 95.429993 -66.439813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15957433--1.15959349) × R
    1.9159999999907e-05 × 6371000     		dl = 122.068359999408m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15957433--1.15959349) × R
    1.9159999999907e-05 × 6371000     		dr = 122.068359999408m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66551964-1.66556758) × cos(-1.15957433) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.399729748794646 × 6371000     		do = 122.087754325539m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66551964-1.66556758) × cos(-1.15959349) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.399712186032251 × 6371000     		du = 122.082390205838m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15957433)-sin(-1.15959349))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399729748794646-0.399712186032251)×R²
    abs(1.66556758-1.66551964)×1.7562762394896e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.7562762394896e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.7562762394896e-05×40589641000000     		ar = 14902.7245523881m²