Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100279 / 98243
↖ ↑ ↗
← S 66.446400°
E 95.424499°		 ← 122.05 m → S 66.446400°
E 95.427246°		 →
↑
122 m
↓
↑
122 m
↓
S 66.447497°
E 95.424499°		 ← 122.04 m →
14 890 m²		 S 66.447497°
E 95.427246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100279 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98243 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765071868896484 y=0.749538421630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765071868896484 × 217)
    floor (0.765071868896484 × 131072)
    floor (100279.5)     		tx = 100279
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749538421630859 × 217)
    floor (0.749538421630859 × 131072)
    floor (98243.5)     		ty = 98243
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100279 / 98243 ti = "17/100279/98243"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100279/98243.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100279 ÷ 217
    100279 ÷ 131072     		x = 0.765068054199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98243 ÷ 217
    98243 ÷ 131072     		y = 0.749534606933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765068054199219 × 2 - 1) × π
    0.530136108398438 × 3.1415926535     		Λ = 1.66547170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749534606933594 × 2 - 1) × π
    -0.499069213867188 × 3.1415926535     		Φ = -1.56787217587318
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66547170} λ = 1.66547170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56787217587318))-π/2
    2×atan(0.208488337226117)-π/2
    2×0.205543940734623-π/2
    0.411087881469246-1.57079632675     		φ = -1.15970845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66547170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.424499°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15970845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.446400°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100279 KachelY 98243 1.66547170 -1.15970845 95.424499 -66.446400
    Oben rechts KachelX + 1 100280 KachelY 98243 1.66551964 -1.15970845 95.427246 -66.446400
    Unten links KachelX 100279 KachelY + 1 98244 1.66547170 -1.15972760 95.424499 -66.447497
    Unten rechts KachelX + 1 100280 KachelY + 1 98244 1.66551964 -1.15972760 95.427246 -66.447497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15970845--1.15972760) × R
    1.91500000001898e-05 × 6371000     		dl = 122.00465000121m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15970845--1.15972760) × R
    1.91500000001898e-05 × 6371000     		dr = 122.00465000121m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66547170-1.66551964) × cos(-1.15970845) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.399606806376639 × 6371000     		do = 122.050204546542m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66547170-1.66551964) × cos(-1.15972760) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.399589251754166 × 6371000     		du = 122.044842912982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15970845)-sin(-1.15972760))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399606806376639-0.399589251754166)×R²
    abs(1.66551964-1.66547170)×1.75546224728818e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75546224728818e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75546224728818e-05×40589641000000     		ar = 14890.3654167244m²