Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100279 / 96696
↖ ↑ ↗
← S 64.689713°
E 95.424499°		 ← 130.58 m → S 64.689713°
E 95.427246°		 →
↑
130.54 m
↓
↑
130.54 m
↓
S 64.690887°
E 95.424499°		 ← 130.57 m →
17 045 m²		 S 64.690887°
E 95.427246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100279 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765071868896484 y=0.737735748291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765071868896484 × 217)
    floor (0.765071868896484 × 131072)
    floor (100279.5)     		tx = 100279
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737735748291016 × 217)
    floor (0.737735748291016 × 131072)
    floor (96696.5)     		ty = 96696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100279 / 96696 ti = "17/100279/96696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100279/96696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100279 ÷ 217
    100279 ÷ 131072     		x = 0.765068054199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96696 ÷ 217
    96696 ÷ 131072     		y = 0.73773193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765068054199219 × 2 - 1) × π
    0.530136108398438 × 3.1415926535     		Λ = 1.66547170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73773193359375 × 2 - 1) × π
    -0.4754638671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.49371379216095
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66547170} λ = 1.66547170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49371379216095))-π/2
    2×atan(0.224537220614053)-π/2
    2×0.220873918635047-π/2
    0.441747837270093-1.57079632675     		φ = -1.12904849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66547170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.424499°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12904849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.689713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100279 KachelY 96696 1.66547170 -1.12904849 95.424499 -64.689713
    Oben rechts KachelX + 1 100280 KachelY 96696 1.66551964 -1.12904849 95.427246 -64.689713
    Unten links KachelX 100279 KachelY + 1 96697 1.66547170 -1.12906898 95.424499 -64.690887
    Unten rechts KachelX + 1 100280 KachelY + 1 96697 1.66551964 -1.12906898 95.427246 -64.690887
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12904849--1.12906898) × R
    2.04900000000396e-05 × 6371000     		dl = 130.541790000253m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12904849--1.12906898) × R
    2.04900000000396e-05 × 6371000     		dr = 130.541790000253m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66547170-1.66551964) × cos(-1.12904849) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.427520171899866 × 6371000     		do = 130.575664867358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66547170-1.66551964) × cos(-1.12906898) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.427501648731096 × 6371000     		du = 130.57000741483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12904849)-sin(-1.12906898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427520171899866-0.427501648731096)×R²
    abs(1.66551964-1.66547170)×1.85231687692133e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.85231687692133e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.85231687692133e-05×40589641000000     		ar = 17045.2117557513m²