Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100278 / 99764
↖ ↑ ↗
← S 68.060994°
E 95.421753°		 ← 114.09 m → S 68.060994°
E 95.424499°		 →
↑
114.10 m
↓
↑
114.10 m
↓
S 68.062020°
E 95.421753°		 ← 114.08 m →
13 018 m²		 S 68.062020°
E 95.424499°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99764 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765064239501953 y=0.761142730712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765064239501953 × 217)
    floor (0.765064239501953 × 131072)
    floor (100278.5)     		tx = 100278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761142730712891 × 217)
    floor (0.761142730712891 × 131072)
    floor (99764.5)     		ty = 99764
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100278 / 99764 ti = "17/100278/99764"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100278/99764.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100278 ÷ 217
    100278 ÷ 131072     		x = 0.765060424804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99764 ÷ 217
    99764 ÷ 131072     		y = 0.761138916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765060424804688 × 2 - 1) × π
    0.530120849609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66542377
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761138916015625 × 2 - 1) × π
    -0.52227783203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.64078420019528
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66542377} λ = 1.66542377}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64078420019528))-π/2
    2×atan(0.193827982734206)-π/2
    2×0.19145394544106-π/2
    0.38290789088212-1.57079632675     		φ = -1.18788844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66542377} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.421753°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18788844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.060994°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100278 KachelY 99764 1.66542377 -1.18788844 95.421753 -68.060994
    Oben rechts KachelX + 1 100279 KachelY 99764 1.66547170 -1.18788844 95.424499 -68.060994
    Unten links KachelX 100278 KachelY + 1 99765 1.66542377 -1.18790635 95.421753 -68.062020
    Unten rechts KachelX + 1 100279 KachelY + 1 99765 1.66547170 -1.18790635 95.424499 -68.062020
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18788844--1.18790635) × R
    1.79099999999544e-05 × 6371000     		dl = 114.104609999709m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18788844--1.18790635) × R
    1.79099999999544e-05 × 6371000     		dr = 114.104609999709m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66542377-1.66547170) × cos(-1.18788844) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.373619349023327 × 6371000     		do = 114.089162865112m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66542377-1.66547170) × cos(-1.18790635) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.373602735967707 × 6371000     		du = 114.084089868723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18788844)-sin(-1.18790635))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373619349023327-0.373602735967707)×R²
    abs(1.66547170-1.66542377)×1.66130556202848e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.66130556202848e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.66130556202848e-05×40589641000000     		ar = 13017.8100082021m²