Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100277 / 96876
↖ ↑ ↗
← S 64.900250°
E 95.419006°		 ← 129.56 m → S 64.900250°
E 95.421753°		 →
↑
129.52 m
↓
↑
129.52 m
↓
S 64.901415°
E 95.419006°		 ← 129.55 m →
16 781 m²		 S 64.901415°
E 95.421753°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100277 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96876 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765056610107422 y=0.739109039306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765056610107422 × 217)
    floor (0.765056610107422 × 131072)
    floor (100277.5)     		tx = 100277
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739109039306641 × 217)
    floor (0.739109039306641 × 131072)
    floor (96876.5)     		ty = 96876
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100277 / 96876 ti = "17/100277/96876"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100277/96876.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100277 ÷ 217
    100277 ÷ 131072     		x = 0.765052795410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96876 ÷ 217
    96876 ÷ 131072     		y = 0.739105224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765052795410156 × 2 - 1) × π
    0.530105590820312 × 3.1415926535     		Λ = 1.66537583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739105224609375 × 2 - 1) × π
    -0.47821044921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.50234243409256
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66537583} λ = 1.66537583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50234243409256))-π/2
    2×atan(0.222608104133833)-π/2
    2×0.21903663857376-π/2
    0.438073277147521-1.57079632675     		φ = -1.13272305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66537583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.419006°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13272305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.900250°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100277 KachelY 96876 1.66537583 -1.13272305 95.419006 -64.900250
    Oben rechts KachelX + 1 100278 KachelY 96876 1.66542377 -1.13272305 95.421753 -64.900250
    Unten links KachelX 100277 KachelY + 1 96877 1.66537583 -1.13274338 95.419006 -64.901415
    Unten rechts KachelX + 1 100278 KachelY + 1 96877 1.66542377 -1.13274338 95.421753 -64.901415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13272305--1.13274338) × R
    2.03299999999018e-05 × 6371000     		dl = 129.522429999374m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13272305--1.13274338) × R
    2.03299999999018e-05 × 6371000     		dr = 129.522429999374m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66537583-1.66542377) × cos(-1.13272305) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.424195469520891 × 6371000     		do = 129.560215183581m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66537583-1.66542377) × cos(-1.13274338) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.424177059181899 × 6371000     		du = 129.55459219217m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13272305)-sin(-1.13274338))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424195469520891-0.424177059181899)×R²
    abs(1.66542377-1.66537583)×1.84103389918588e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.84103389918588e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.84103389918588e-05×40589641000000     		ar = 16780.5897507689m²