Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100276 / 96852
↖ ↑ ↗
← S 64.872273°
E 95.416260°		 ← 129.70 m → S 64.872273°
E 95.419006°		 →
↑
129.71 m
↓
↑
129.71 m
↓
S 64.873440°
E 95.416260°		 ← 129.69 m →
16 823 m²		 S 64.873440°
E 95.419006°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96852 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765048980712891 y=0.738925933837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765048980712891 × 217)
    floor (0.765048980712891 × 131072)
    floor (100276.5)     		tx = 100276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738925933837891 × 217)
    floor (0.738925933837891 × 131072)
    floor (96852.5)     		ty = 96852
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100276 / 96852 ti = "17/100276/96852"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100276/96852.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100276 ÷ 217
    100276 ÷ 131072     		x = 0.765045166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96852 ÷ 217
    96852 ÷ 131072     		y = 0.738922119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765045166015625 × 2 - 1) × π
    0.53009033203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66532789
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738922119140625 × 2 - 1) × π
    -0.47784423828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.50119194850168
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66532789} λ = 1.66532789}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50119194850168))-π/2
    2×atan(0.222864358930513)-π/2
    2×0.219280781109327-π/2
    0.438561562218655-1.57079632675     		φ = -1.13223476
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66532789} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.416260°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13223476 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.872273°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100276 KachelY 96852 1.66532789 -1.13223476 95.416260 -64.872273
    Oben rechts KachelX + 1 100277 KachelY 96852 1.66537583 -1.13223476 95.419006 -64.872273
    Unten links KachelX 100276 KachelY + 1 96853 1.66532789 -1.13225512 95.416260 -64.873440
    Unten rechts KachelX + 1 100277 KachelY + 1 96853 1.66537583 -1.13225512 95.419006 -64.873440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13223476--1.13225512) × R
    2.03599999999415e-05 × 6371000     		dl = 129.713559999628m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13223476--1.13225512) × R
    2.03599999999415e-05 × 6371000     		dr = 129.713559999628m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66532789-1.66537583) × cos(-1.13223476) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.42463760002656 × 6371000     		do = 129.695253219851m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66532789-1.66537583) × cos(-1.13225512) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.42461916673947 × 6371000     		du = 129.689623219501m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13223476)-sin(-1.13225512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.42463760002656-0.42461916673947)×R²
    abs(1.66537583-1.66532789)×1.84332870890591e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.84332870890591e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.84332870890591e-05×40589641000000     		ar = 16822.8678672038m²