Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100276 / 101941
↖ ↑ ↗
← S 70.189758°
E 95.416260°		 ← 103.51 m → S 70.189758°
E 95.419006°		 →
↑
103.47 m
↓
↑
103.47 m
↓
S 70.190688°
E 95.416260°		 ← 103.51 m →
10 709 m²		 S 70.190688°
E 95.419006°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101941 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765048980712891 y=0.777751922607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765048980712891 × 217)
    floor (0.765048980712891 × 131072)
    floor (100276.5)     		tx = 100276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777751922607422 × 217)
    floor (0.777751922607422 × 131072)
    floor (101941.5)     		ty = 101941
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100276 / 101941 ti = "17/100276/101941"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100276/101941.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100276 ÷ 217
    100276 ÷ 131072     		x = 0.765045166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101941 ÷ 217
    101941 ÷ 131072     		y = 0.777748107910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765045166015625 × 2 - 1) × π
    0.53009033203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66532789
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777748107910156 × 2 - 1) × π
    -0.555496215820312 × 3.1415926535     		Φ = -1.74514283066814
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66532789} λ = 1.66532789}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74514283066814))-π/2
    2×atan(0.174620046087695)-π/2
    2×0.172876979092923-π/2
    0.345753958185846-1.57079632675     		φ = -1.22504237
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66532789} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.416260°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22504237 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.189758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100276 KachelY 101941 1.66532789 -1.22504237 95.416260 -70.189758
    Oben rechts KachelX + 1 100277 KachelY 101941 1.66537583 -1.22504237 95.419006 -70.189758
    Unten links KachelX 100276 KachelY + 1 101942 1.66532789 -1.22505861 95.416260 -70.190688
    Unten rechts KachelX + 1 100277 KachelY + 1 101942 1.66537583 -1.22505861 95.419006 -70.190688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22504237--1.22505861) × R
    1.62400000001117e-05 × 6371000     		dl = 103.465040000712m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22504237--1.22505861) × R
    1.62400000001117e-05 × 6371000     		dr = 103.465040000712m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66532789-1.66537583) × cos(-1.22504237) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.338906111288483 × 6371000     		do = 103.510649830739m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66532789-1.66537583) × cos(-1.22505861) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.338890832323753 × 6371000     		du = 103.50598324163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22504237)-sin(-1.22505861))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338906111288483-0.338890832323753)×R²
    abs(1.66537583-1.66532789)×1.52789647300255e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52789647300255e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52789647300255e-05×40589641000000     		ar = 10709.4921109644m²