Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100275 / 101940
↖ ↑ ↗
← S 70.188826°
E 95.413513°		 ← 103.49 m → S 70.188826°
E 95.416260°		 →
↑
103.53 m
↓
↑
103.53 m
↓
S 70.189758°
E 95.413513°		 ← 103.49 m →
10 714 m²		 S 70.189758°
E 95.416260°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100275 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101940 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765041351318359 y=0.777744293212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765041351318359 × 217)
    floor (0.765041351318359 × 131072)
    floor (100275.5)     		tx = 100275
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777744293212891 × 217)
    floor (0.777744293212891 × 131072)
    floor (101940.5)     		ty = 101940
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100275 / 101940 ti = "17/100275/101940"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100275/101940.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100275 ÷ 217
    100275 ÷ 131072     		x = 0.765037536621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101940 ÷ 217
    101940 ÷ 131072     		y = 0.777740478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765037536621094 × 2 - 1) × π
    0.530075073242188 × 3.1415926535     		Λ = 1.66527996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777740478515625 × 2 - 1) × π
    -0.55548095703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.74509489376852
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66527996} λ = 1.66527996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74509489376852))-π/2
    2×atan(0.174628417031953)-π/2
    2×0.17288510233025-π/2
    0.345770204660501-1.57079632675     		φ = -1.22502612
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66527996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.413513°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22502612 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.188826°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100275 KachelY 101940 1.66527996 -1.22502612 95.413513 -70.188826
    Oben rechts KachelX + 1 100276 KachelY 101940 1.66532789 -1.22502612 95.416260 -70.188826
    Unten links KachelX 100275 KachelY + 1 101941 1.66527996 -1.22504237 95.413513 -70.189758
    Unten rechts KachelX + 1 100276 KachelY + 1 101941 1.66532789 -1.22504237 95.416260 -70.189758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22502612--1.22504237) × R
    1.62499999998289e-05 × 6371000     		dl = 103.52874999891m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22502612--1.22504237) × R
    1.62499999998289e-05 × 6371000     		dr = 103.52874999891m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66527996-1.66532789) × cos(-1.22502612) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.338921399571977 × 6371000     		do = 103.493726583803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66527996-1.66532789) × cos(-1.22504237) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.338906111288483 × 6371000     		du = 103.48905812252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22502612)-sin(-1.22504237))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338921399571977-0.338906111288483)×R²
    abs(1.66532789-1.66527996)×1.52882834943413e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.52882834943413e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.52882834943413e-05×40589641000000     		ar = 10714.3344863728m²