Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100274 / 97406
↖ ↑ ↗
← S 65.510686°
E 95.410767°		 ← 126.61 m → S 65.510686°
E 95.413513°		 →
↑
126.59 m
↓
↑
126.59 m
↓
S 65.511824°
E 95.410767°		 ← 126.60 m →
16 027 m²		 S 65.511824°
E 95.413513°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100274 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97406 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765033721923828 y=0.743152618408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765033721923828 × 217)
    floor (0.765033721923828 × 131072)
    floor (100274.5)     		tx = 100274
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743152618408203 × 217)
    floor (0.743152618408203 × 131072)
    floor (97406.5)     		ty = 97406
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100274 / 97406 ti = "17/100274/97406"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100274/97406.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100274 ÷ 217
    100274 ÷ 131072     		x = 0.765029907226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97406 ÷ 217
    97406 ÷ 131072     		y = 0.743148803710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765029907226562 × 2 - 1) × π
    0.530059814453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66523202
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743148803710938 × 2 - 1) × π
    -0.486297607421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.52774899089119
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66523202} λ = 1.66523202}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52774899089119))-π/2
    2×atan(0.217023640085044)-π/2
    2×0.213709583867064-π/2
    0.427419167734129-1.57079632675     		φ = -1.14337716
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66523202} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.410767°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14337716 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.510686°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100274 KachelY 97406 1.66523202 -1.14337716 95.410767 -65.510686
    Oben rechts KachelX + 1 100275 KachelY 97406 1.66527996 -1.14337716 95.413513 -65.510686
    Unten links KachelX 100274 KachelY + 1 97407 1.66523202 -1.14339703 95.410767 -65.511824
    Unten rechts KachelX + 1 100275 KachelY + 1 97407 1.66527996 -1.14339703 95.413513 -65.511824
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14337716--1.14339703) × R
    1.98700000000329e-05 × 6371000     		dl = 126.59177000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14337716--1.14339703) × R
    1.98700000000329e-05 × 6371000     		dr = 126.59177000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66523202-1.66527996) × cos(-1.14337716) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.414523527719445 × 6371000     		do = 126.606155201039m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66523202-1.66527996) × cos(-1.14339703) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.414505445170726 × 6371000     		du = 126.600632325216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14337716)-sin(-1.14339703))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414523527719445-0.414505445170726)×R²
    abs(1.66527996-1.66523202)×1.80825487182124e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.80825487182124e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.80825487182124e-05×40589641000000     		ar = 16026.947705084m²